Bonsoir tout le monde , j'ai un nouveau fardeau sur les épaules : montrer que cos() diverge (n'admet pas de limite) où est la série harmonique sachant qu'on m'a aider à montrer que cos(ln(n)) diverge et que ln(n) équivaut à en + . Pouvez-vous m'aider ?
Oui et alors nous avons en +oo lim cos()=lim cos(ln(n)) qui n'admet justement pas de limite . Thank you gillesmarseille , A + !
Il s'agit de creuser un peu plus (formule d'addition du cosinus...)
Et y a pas de quoi pour le service, ça me fais plaisir de replonger dans ces petits problèmes de math...
A+
Tu avais raison gillesmarseille , il fallait creuser un peu + car je me retrouve avec l'étude de la limite de ln(n) en +oo qui est une forme indéterminée . Saurais-tu comment lever l'indétermination ?
Enfin lolo217 , comment as-tu pu croire que j'avais oublié cette méthode que tu m'avais donné ?!Mais elle n'utilise pas les hypothèses de CE post , c'est un problème différent car avec cette limite indéterminée je suis bloqué . Tu comprends ?
ok désolé j'avais pas pigé la subtilité .
Alors cos(hn) =cos(Log(n)+ o(1)) = cos(Log(n)cos(o(1))-sinLog(n)sin(o(1) d'o ù le résultat !
D'accord lolo217 , mais quand tu écris cos(o(1)) et sin(o(1)) ça représente quoi exactement le cos et le sin de quelque chose négligeable devant 1 ?
oui négligeable au sens "suite qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini"
OUPS ! je me suis planté hn= log(n)+ c + o(1) mais alors ça utilise plus que l'équivalent . Donc je ne vois plus.....
Merci quand même , sinon y-a-t-il d'autres volontaires ? C'est à cause de cette fichue limite indéterminée que le raisonnement ne fonctionne pas ou sinon il faudrait utiliser une autre méthode mais je suis à court d'idées .
si la méthode est possible ça veut dire que QUELQUESOIT la suite e(n) négligeable devant Log(n) on aurait cos( Log(n)+ e(n)) qui diverge ....j'ai des doutes ....mais bon c'est peut-être vrai et alors c'est très fort non ?
je n'ai pas d'idée mais ç'est bien ça que tu demandes non ? Si on utilise seulement l'équivalence il faut que le résultat signalé soit vrai ....
Salut !
tu ne peut pas conclure avec juste le fait que Hn est équivalent à ln(n)
si on remplace hn par genre 2.Pi* [ln(n)/2Pi]
ou [] désigne la partie entière, c'est toujour équivalent à log(n), mais la suite est constante égal à 1 !
il faut donc des informations supplémentaire, par exemple que Hn=log(n)+c+o(1), ou tout autre majoration explicite de Hn-log(n) (par exemple, si on sait que c'est strcitement compris entre 0 et 1 à partir d'un certain on pourra conclure...)
et la il faut que tu nous en dise plus sur ce qu'il y avait avant dans ton sujet.
Désolé Ksilver mais la prof ne m'a rien donné de plus , mais admettons que je me débrouille pour montrer que 0<h(n)-ln(n)<1 , je n'arrive pas à voir comment tu pourrais conclure ( j'imagine que ça a un lien avec cette suite équivalente valant 1 mais je ne vois pas clairement la conclusion) .
mais la prof ne m'a rien donné de plus >>> certe, mais pour prouver que hn~ln(n) tu as du faire certaines choses... qui peuvent tres probablement ce "rafiner" un peu !
ou bien quand tu as prouvé que cos(log(n)) divergait, peut-etre peut-on appliquer directement la meme preuve à cos(hn). tous dépend de la methode que tu as utilisé...
enfin, supposons qu'on ai une suite h(n) telle que 0<h(n)-ln(n)<1.
on va montrer qu'il existe une infinité de terme supérieur à cos(3/2), et une infinité de terme inférieur à -cos(3/2)=cos(Pi+3/2) ce qui prouvera (modulo le fait que cos(3/2)>0 car Pi>3 ^^) que la suite peut pas converger (la limite serait >=cos(3/2) et et <= à -cos(3/2) !!!)
bon d'abord tu dois montrer ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<=1/n ou qqch du meme genre. (pas tres difficile)
soit n un entier >0, et Kn le plus petit entier telle que ln(Kn)<=2.n.Pi, on sait d'office que Kn>2 car ln(3)<2.Pi.
ln((Kn)+1) est supérieur à 2.nPi, et ln((Kn)+1)-ln(Kn)<1/Kn<1/2 du coup |2nPi-log(Kn)|<1/2, comme
|log(kn+1)-h(kn)|<1, on en déduit que |h(Kn)-2.nPi|<3/2, et donc cos(h(kn))=cos(h(kn)-2nPi) > cos(3/2)
pour voir l'autre extraction (une infinité de terme <cos(-3/2), fait la meme chose mais en prenant Kn le plus petit entier telle que ln(Kn)<=(2.n+1).Pi
... note qu'en fait on s'en sort avec une inégalité plus large que celle annoncé au départ.
maintenant que j'y pense, le fait H(n+1)-H(n) ->0 doit aussi permette de s'en sortir, sans meme utiliser le fait que hn~log(n) (juste que Hn diverge et Hn+1-Hn->0
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