Annuler
connectez vous
- Arithmétique : divisibilité, PGCD et PPCM, Nombres premiers
- Des mathématiciens célèbres : Fermat et Gauss
- Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
- Fonction exponentielle - Fiche de Cours terminale
- Fiche sur les nombres complexes - terminale
- Limites de fonctions - Cours sur les limites
- Cours sur les suites en Terminale S
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale ArithmétiqueTopics traitant de Arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
DIvisibilité
Posté par Night13
Bonjour,
Pour l'exercice suivant :
n est un naturel. Démontrer que quel que soit n, 3n⁴ + 5n + 1 est impair.
Puis-je raisonner par disjonction des cas, c'est-à-dire tester pour n=2k (n est pair) ou n=2k+1 (n est impair) ?
Merci.
salut
quand Night13 nous aura proposé quelque chose (s'il le souhaite) je ferai quelques "variations" sur cette questions 
mais qui veut intervenir intervient bien sûr !!
Merci.
Je sais résoudre l'exercice en faisant une disjonction des cas, mais je ne vais pas mettre tout mon raisonnement ici d'autant ça fait des expressions un peu longues.
En fait, il y a sûrement une façon plus simple de résoudre cet exercice
alors je vais te montrer quelques trucs :
tout d'abord ton idée est la plus classique mais très calculatoire (mais c'est un bon exercice d'entrainement au calcul)
ensuite en continuant sur ton idée mais en se simplifiant les calculs :
Citation :
propriété 1 : ajouter (ou retrancher) un entier pair à un entier ne change pas la parité
propriété 1 : ajouter (ou retrancher) un entier pair à un entier ne change pas la parité
(démonstration quasi immédiate par définition des nombres pairs et impairs)
donc
ce qui simplifie un peu les calculs ... mais on peut faire encore mieux ... très plus bien mieux
Citation :
propriété 2 : un entier et ses puissances (non nulle) ont même parité
a même parité que n
propriété 2 : un entier et ses puissances (non nulle) ont même parité
(démonstration par récurrence par exemple)
donc
et là on ne se fatigue mais absolument pas du tout
mais il faut avoir démontré la propriété pour l'utiliser bien sûr !!
bien entendu la
Citation :
propriété 3 : le produit d'un entier par un entier pair est ...
le produit d'un entier par un entier impair ...
je te laisse compléter ...
propriété 3 : le produit d'un entier par un entier pair est ...
le produit d'un entier par un entier impair ...
cette propriété se démontre aussi ... très facilement à partir de la règle générale :
Citation :
le produit de deux entiers pairs (resp. impairs , de parité différente) est ... (resp. ...)
(à compléter)
le produit de deux entiers pairs (resp. impairs , de parité différente) est ... (resp. ...)
Je comprends le raisonnement, merci pour l'explication. Mais je préfère quand même m'embêter à calculer
Si je complète les trous, ça donne :
Le produit d'un entier par un entier pair est toujours pair (n*2k)
Le produit d'un entier par un entier impair est pair : n(2k+1) = 2nk+n
Le produit de deux entiers pairs est pair (2k*2k' = 2kk')
le deuxième est faux
le troisième est incomplet (il manque deux cas) et une petite erreur !!
PS : resp. signifie respectivement
Le produit d'un entier par un entier impair est donc impair.
Je ne comprends pas trop le troisième alors
fatroisième :
le produit de deux entiers pairs est ...
le produit de deux entiers impairs est ...
le produit de deux entiers de parité différentes est ...