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Divisibilité de dimension ...

Posté par
monrow Posteur d'énigmes 25-06-08 à 15:23

Bonjour,

un tout petit exo qui me bloque ...

Soient A et B deux matrices de 3$\rm nxn. On suppose que 3$\rm A^2+B^2=AB et que 3$\rm AB-BA est inversible.

Montrer que 3$\rm\blue\fbox{3|n} !

Une petite piste ne sera pas de refus

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : Divisibilité de dimension ... 25-06-08 à 15:30

Bonjour

Etonnant! S'agit-il de matrices réelles? complexes? Je pose la question parceque A2-AB+B2 fait penser à une racine cubique de 1... Mais je ne le connais pas! Je réfléchis...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Divisibilité de dimension ... 25-06-08 à 15:46

Salut Camélia !

Ah oui, j'ai oublié de le préciser, ce sont des matrices réelles.

Je l'ai trouvé très surprenant comme résultat aussi ! J'ai essayé de trouver des relation mais je n'ai pas su où utiliser la deuxième hypothèse sur l'inversibilité...

(A-B)²=-BA  (A+B)²=2AB+BA ... mais en vain ... sinon j'ai pas pu utiliser l'identité A^3+B^3 à cause de la commutativité !

Posté par
Camélia Correcteurre : Divisibilité de dimension ... 25-06-08 à 15:52

Je ne sais pas, j'y réfléchirai...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Divisibilité de dimension ... 25-06-08 à 22:18

surement y aura une utilisation du déterminant à mon avis ...

Posté par
jandri Correcteurre : Divisibilité de dimension ... 26-06-08 à 12:06

Bonjour monrow.
Une indication:
calculer le produit (A+jB)(A+j^2B) où j=\e({2i\pi/3}).

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Divisibilité de dimension ... 26-06-08 à 12:53

ah oui !

On montre d'abord que 3$\rm \det(A+jB)(A+j^2B)\in\mathbb{R}

On a: 3$\rm \overline{\det(A+jB)(A+j^2B)}=\det\overline{(A+jB)(A+j^2B)}=\det(A+j^2B)(A+jB)=\det(A+jB)(A+j^2B)

Donc: 3$\rm \fbox{\det(A+jB)(A+j^2B)\in\mathbb{R}}

On a: 3$\rm (A+jB)(A+j^2B)=A^2+j^2AB+jBA+B^2=A^2-AB-jAB+jBA+B^2=j(BA-AB)

donc: 3$\rm \det(A+jB)(A+j^2B)=\det(j(BA-AB))=j^n\det(BA-AB)

Or: 3$\rm \det(A+jB)(A+j^2B)\in\mathbb{R}

d'où: 3$\rm j^n\in\mathbb{R}

Finalement : 3$\rm\blue\fbox{3|n}

Merci jandri et Camélia !

Posté par
Camélia Correcteurre : Divisibilité de dimension ... 26-06-08 à 14:15

Il n'y a vraiment pas de quoi...


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