Niveau Master

DM base orthonormée / produit scalaire

Posté par
romulus 26-10-08 à 15:41

Posté par re : DM base orthonormée / produit scalaire 26-10-08 à 16:33

Ce que j'ai fait:
1)
a) h existe car P,Q sont des polynômes donc de classe $C^0$ sur ]a,b[
w de classe $C^0$ sur ]a,b[
donc P*Q*w de classe $C^0$ sur ]a,b[, donc intégrable sur ]a,b[.
---------------------------------------------
h(P,Q)=h(Q,P) évident.
---------------------------------------------
h(P,P)0: j'ai pris n points sur ]a,b[, $x_1$ , $x_2$ , ..., $x_n$ , et je prends $x_0$ =a et $x_{n+1}$ =b tel que
$x_0$ < $x_1$ < $x_2$ <... $x_n$ < $x_{n+1}$ et
i=1,...,n , w( $x_i$ )0

Ainsi $\int_a^b$ $P(x)^2$ w(x)dx= $\sum{i}$ $\int_{x_i}^{x_{i+1}}$ $P(x)^2$ w(x)dx (i va de 0 à n)

Comme w>0 sur chaque ] $x_i$ , $x_{i+1}$ [, $P^2$ 0 donc $P(x)^2$ w(x)0 et donc i, $\int_{x i}{x i+1}$ $P(x)^2w(x)dx$ 0
---------------------------------------------
h(P,P)=0
c'est comme avant, mais je dis que $\int_{x i}{x i+1}$ $P(x)^2w(x)dx$ =0
w>0 sur ] $x_i$ , $x_{i+1}$ [, donc P=0 sur ] $x_i$ , $x_{i+1}$ [, ie, P nul presque partout sur [a,b], donc (polynôme) P=0

(b)j'ai dit que n, $P_n$ = $\frac{f_n}{||f_n||}$
avec $f_0$ =1
$f_1$ = $X^1$ -h( $P_0$ , $t^2$ ) $P_0$
...
$f_n$ = $X^n$ - $\sum{i}$ ( $P_i$ , $t^{i+1}$ ) $P_i$ (i va de 0 à n-1)

deg( $P_n$ )=deg( $\frac{X^n}{||fn||}$ )=n et donc $_n$ =1/|| $f_n$ ||

(c) P dans $_n$ [X], P(x)= $a_ix^i$ et j'ai réussi à dire que c'était aussi $b_ix^i$ où
$b_i$ = $a_i$ || $f_i$ ||+h( $P_i$ , $t^{i+1}$ )(j) $a_j$ (j va de i+1 à n)

(d) Existence:
Q dans $_{n-1}$ [X]
h( $P_n$ ,Q)=h( $P_n$ , $d_ix^i$ )= $d_i$ h( $P_n$ , $x^i$ )=0 car (b)
---------------------------------------------
Unicité:
Soit Pn, PPn tel que h(Pn,Q)=0=h(PPn,Q)
=> h(Pn-PPn,Q)=0
Si c'est vrai pour tout Q, c'est vrai pour Q=Pn-PPn et donc (h produit scalaire) Pn-PPn=0 => Pn=PPn

(e) j'ai utilisé la même astuce que précédemment pour montrer l'existence

(f) et (g) je n'ai pas réussi

2)
(a)

(b)à gauche, j'ai mis les termes sans le $c_{n+1}$ en facteur, et à droite le reste, j'ai divisé par $a_{n+1}$ , et et j'ai remarqué que $c_{n+1}$ / $a_{n+1}$ =-1/ $a_{n}$

(c) (d) (e) je n'ai pas réussi

3)
(a) (b) je n'ai pas réussi

(c)
(i) en partant de l'intégrale, c'est relativement simple

(ii) là aussi, je suis parti de l'intégrale et je me suis servi de 2) (c)

(iii) je n'ai pas réussi

Posté par DM base orthonormée / produit scalaire 26-10-08 à 18:41

Bonjour à tous, pourriez-vous me donner un coup de main pour ce DM? Ce serait sympa.

1)
Dans toute la suite, on se donne -a<b<+ et une fonction w $C^{0}$ ([a,b],) telle que w>0 presque partout dans ]a,b[.
Sur [X], on considère la forme bilinéaire :
h(P,Q)= $\int_a^b P(x)Q(x)w(x)dx$

On note E={u mesurable, $\int_a^b u^2$ w(x)dx<}

(a) Mq h est un produit scalaire sur [X]

(b) En orthonormalisant la base canonique {X^n, n} de [X], mq il existe une base orthonormée { $P_n$ , n} tq deg $P_n$ =n pour tout n et la coefficient de plus heut degré de chacun de ces polynômes est positif

(c) Mq $_n$ [X]=Vect{ $P_0$ ,..., $P_n$ } pour tout n

(d) Mq que { $P_n$ , n} est l'UNIQUE base orthonormée de [X] telle que deg Pn=n pour tout n, et le coefficient de plus haut degré de chacun de ces polynômes est positif. On notera n le coeff. de plus haut degré de Pn

(e) Mq pour tout n, $\int_a^b Pn(x)P(x)w(x)dx$ =0 pour tout P de [X] tel que deg P<n

(f)Soit n. Mq par l'absurde que Pn est scindé.
Indication: si Pn n'est pas scindé, on pourra trouver un polynôme P de degré <n tel que PnP est de signe constant, et utiliser la question précédente pour obtenir une contradiction.

(g)Soit n. Mq Pnest un polynôme scindé à racines simples dont les racines sont dans ]a,b[

2)
(a) Mq il existe des suites ( $a_n$ ), ( $b_n$ ), ( $c_n$ ) tq pour tout n1
$P_n$ (x)=( $a_n$ x+ $b_n$ ) $P_{n-1}$ + $c_n$ $P_{n-2}$ (x)
où $P_{-1}$ =0
Déterminer $a_n$ , $b_n$ , $c_n$ en fonction de $\int_a^b$ x $P_{n-1}$ (x) $P_k$ (x)w(x)dx, k=n,n-1 et n-2
Enfin, mq $a_n$ = $\frac{gamma(n)}{gamma(n-1)$ si n1 et $c_n$ =- $\frac{a(n)}{a(n-1)}$ si n2

(b)En remarquant que
$a_{n+1}$ (x-y)Pn(x)Pn(y)=
( $P_{n+1}$ (x)Pn(y)- $c_{n+1}$ $P_{n-1}$ (x)Pn(y) ) - ( $P_{n+1}$ (y)Pn(x) - $c_{n+1}$ $P_{n-1}$ (y)Pn(x) )
en déduire que pour xy que si n1
Pn(x)Pn(y)= $\frac{P_{n+1}(x)Pn(y)-P_{n+1}(y)Pn(x)}{a_{n+1}(x-y)}$ - $\frac{Pn(x)P_{n-1}(y)-Pn(y)P_{n-1}(x)}{a_n(x-y)}$

(c) En déduire
Kn(x,y)= $\sum_{i=0}^n$ Pi(x)Pi(y)= $\frac{gamma(n)}{gamma(n+1)}$ $\frac{P_{n+1}(x)Pn(y)-P_{n+1}(y)Pn(x)}{x-y}$

(d) En faisant tendre y vers x, en déduire une expression de P' $_{n+1}$ Pn-P'nP $_{n+1}$

(e)Déduire que Pn et P_{n+1} ne sont jamais simultanément nuls et que les zéros de Pn alternent avec ceux de P $_{n+1}$ (montrern à l'aide du théo des valeurs intermédiaires, qu'entre 2 racines consécutives de P_{n+1}, il existe une racine de Pn)

3)
(a) Justifier que {Pn,n} est une base hilbertienne de E pour la norme découlant de h (utiliser les théo de Weierstrass)

(b) Mq pour tout P de n[X], P(y)=h(P,Kn(.,y) ) et qu'en particulier, 1= $\int_a^b$ Kn(x,y)w(x)dx

(c) Soient f une fonction $C_c^1$ (a,b) et n et x]a,b[
fn(x)= $\int_a^b$ Kn(x,y)f(y)w(y)dy

(i) x]a,b[ on note $_x$ (y)= $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$
Mq f(x)-fn(x)= $\int_a^b$ Kn(x,y)[ f(x)-f(y) ]w(y)dy

(ii) En déduire
f(x)-fn(x)= $\frac{gamma(n)}{gamma(n+1)}$ [ h(Pn, $_x$ )P $_{n+1}$ (x)-h(P $_{n+1}$ , $_x$ )Pn(x) ]

(iii) On suppose savoir que x fixé dans ]a,b[, les suites (an)P $_{n+1}$ (x) et (an)Pn(x) sont bornées.
Justifier que x, fn(x) tend vers f(x)

----------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------

Ce que j'ai fait:
1)
a) h existe car P,Q sont des polynômes donc de classe $C^0$ sur ]a,b[
w de classe $C^0$ sur ]a,b[
donc P*Q*w de classe $C^0$ sur ]a,b[, donc intégrable sur ]a,b[.
---------------------------------------------
h(P,Q)=h(Q,P) évident.
---------------------------------------------
h(P,P)0: j'ai pris n points sur ]a,b[, $x_1$ , $x_2$ , ..., $x_n$ , et je prends $x_0$ =a et $x_{n+1}$ =b tel que
$x_0$ < $x_1$ < $x_2$ <... $x_n$ < $x_{n+1}$ et
i=1,...,n , w( $x_i$ )0

Ainsi $\int_a^b$ $P(x)^2$ w(x)dx= $\sum{i}$ $\int_{x_i}^{x_{i+1}}$ $P(x)^2$ w(x)dx (i va de 0 à n)

Comme w>0 sur chaque ] $x_i$ , $x_{i+1}$ [, $P^2$ 0 donc $P(x)^2$ w(x)0 et donc i, $\int_{x i}{x i+1}$ $P(x)^2w(x)dx$ 0
---------------------------------------------
h(P,P)=0
c'est comme avant, mais je dis que $\int_{x i}{x i+1}$ $P(x)^2w(x)dx$ =0
w>0 sur ] $x_i$ , $x_{i+1}$ [, donc P=0 sur ] $x_i$ , $x_{i+1}$ [, ie, P nul presque partout sur [a,b], donc (polynôme) P=0

(b)j'ai dit que n, $P_n$ = $\frac{f_n}{||f_n||}$
avec $f_0$ =1
$f_1$ = $X^1$ -h( $P_0$ , $t^2$ ) $P_0$
...
$f_n$ = $X^n$ - $\sum{i}$ ( $P_i$ , $t^{i+1}$ ) $P_i$ (i va de 0 à n-1)

deg( $P_n$ )=deg( $\frac{X^n}{||fn||}$ )=n et donc $_n$ =1/|| $f_n$ ||

(c) P dans $_n$ [X], P(x)= $a_ix^i$ et j'ai réussi à dire que c'était aussi $b_ix^i$ où
$b_i$ = $a_i$ || $f_i$ ||+h( $P_i$ , $t^{i+1}$ )(j) $a_j$ (j va de i+1 à n)

(d) Existence:
Q dans $_{n-1}$ [X]
h( $P_n$ ,Q)=h( $P_n$ , $d_ix^i$ )= $d_i$ h( $P_n$ , $x^i$ )=0 car (b)
---------------------------------------------
Unicité:
Soit Pn, PPn tel que h(Pn,Q)=0=h(PPn,Q)
=> h(Pn-PPn,Q)=0
Si c'est vrai pour tout Q, c'est vrai pour Q=Pn-PPn et donc (h produit scalaire) Pn-PPn=0 => Pn=PPn

(e) j'ai utilisé la même astuce que précédemment pour montrer l'existence

(f) et (g) je n'ai pas réussi

2)
(a)

(b)à gauche, j'ai mis les termes sans le $c_{n+1}$ en facteur, et à droite le reste, j'ai divisé par $a_{n+1}$ , et et j'ai remarqué que $c_{n+1}$ / $a_{n+1}$ =-1/ $a_{n}$

(c) (d) (e) je n'ai pas réussi

3)
(a) (b) je n'ai pas réussi

(c)
(i) en partant de l'intégrale, c'est relativement simple

(ii) là aussi, je suis parti de l'intégrale et je me suis servi de 2) (c)

(iii) je n'ai pas réussi

*** message déplacé ***

édit Océane : merci de ne pas poster ton exercice dans des topics différents, les rappels sont pourtant bien visibles.
En postant un petit message dans ton topic, il remonte automatiquement parmi les premiers.

Posté par re : DM base orthonormée / produit scalaire 31-10-08 à 13:25

personne pour m'aider??????

je suis désormais à la question 2) e), et je bloque...

Si vous pouviez m'aider pour les questions 3)a) et 3)c)iii), je serais sympa de votre part

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

algèbre en post-bac
28 fiches de mathématiques sur "algèbre" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

DM base orthonormée / produit scalaire

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths