J'ai un Dm pour demain en Math et nous n'avons jamais étudié la fonction Cube pouvait vous m'aider svp =)
Voilà le sujet :

On considère la fonction f sur par f(x)=x^3

1° a) Suivant le signe de x, donner le signe de son cube. Enoncer un théorème
b) Comparer le cube d'un nombre x et le cube de son opposé (-x)
2° a) Soit a et b deux réels. Verifier que a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Justifier que si a et b sont de meme signe, la somme a^2 + ab + b^2 est positive
b) Soit a et b tels que 0ab . Démontrer que a^3 - b^3  0
En déduire le sen de variation sur ]-;0]
c) de même, déterminer le sens de variation de la fonction cube sur ]-;0]
d) Conclure pour le sens de variation de la fonction cube sur
3° A l'aide de la courbe représentative de la fonction cube, résoudre :
a) x^3 < 8    b) x^3 > -1     c)x^3+27 > 0
4° Justifier que a^3 - b^3 a le meme signe que a - b. En déduire le signe de x^3 + 1 et de 8x^3 + 27

Merci d'avance pour votre aide =)

*** message déplacé ***

Edit jamo : le MULTI-POST est interdit sur ce forum. (voir : [lien] )

BONJOUR ,

  C'est un multipost

Et puis dans tout cela tu n'as vraiment rien réussi ?

*** message déplacé ***

Bonjour

Benh 1° a et b j'y arrive pas =S

*** message déplacé ***

a la 1a c'est : comme x est positif la fonction cube est la fonction qui à tout réel x associe le réel x3

la fonction cube est donc la fonction f définie sur  par f(x) = x3

Cette fonction est  strictement croissante sur voir à ce propos les théorème de rangement.
C'est une fonction impaire  
Tout nombre réel admet un seul antécédent par cette fonction ( sa racine cubique ) ?

*** message déplacé ***

Re-bonjour,

Quand tu réponds :

1.a.
x³ = x² × x
Un carré étant toujours positif, x³ est donc forcément du signe de x.

1.b.
x = (-x) × (-1)
x³ = [(-x) × (-1)]³
x³ = (-x)³ × (-1)³
x³ = (-x)³ × (-1)
-x³ = (-x)³
Donc l'opposé d'un cube est le cube de son opposé.

2.a.

(a - b)(a² + ab + b²) = a(a² + ab + b²) - b(a² + ab + b²)
(a - b)(a² + ab + b²) = (a³ + a²b + ab²) - (a²b + ab² + b³)
(a - b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³
(a - b)(a² + ab + b²) = a³ + (a²b - a²b) + (ab² - ab²) - b³
(a - b)(a² + ab + b²) = a³ + 0 + 0 - b³
(a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³


Si a et b sont du même signe, alors ab est forcément positif ou nul:
ab ≥ 0

Or un carré est forcément positif ou nul:
a² ≥ 0 et b² ≥ 0

Donc la somme de termes positifs ou nuls est forcément positive ou nulle:
a² + ab + b² ≥ 0


2.b.

0 ≤ a ≤ b

On a prouvé en 2.a. que si a et b sont du même signe alors (a²+ab+b²)≥0.
Donc comme a et b sont tous deux positifs (donc de même signe), (a²+ab+b²)≥0.

On a aussi prouvé en 2.a. que (a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³.
D'autre part 0 ≤ a ≤ b donc a - b ≤ 0

(a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³

Puisque (a-b) est négatif et (a²+ab+b²) positif, leur produit est forcément négatif.

Donc (a³-b³) est forcément négatif.

Donc si 0 ≤ a ≤ b,
a³ - b³ ≤ 0
a³ ≤ b³
f(a) ≤ f(b)

Donc la fonction cube est croissante sur [0; +∞[.

2c.
Par le même raisonnement, si b ≤ a ≤ 0

Alors a-b ≥ 0.
Comme a et b sont tous deux négatifs, ils sont de même signe et (a²+ab+b²) est alors positif.

Comme (a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³ il s'ensuit que
a³-b³ est le produit de deux facteurs positifs.
Donc a³-b³ est forcément positif.

Donc si b ≤ a ≤ 0,
a - b ≥ 0
a³ - b³ ≥ 0
a³ ≥ b³
f(a) ≥ f(b)

Donc la fonction cube est croissante sur ]-∞; 0].

2.d.

Comme la fonction cube est croissante sur ]-∞; 0] et qu'elle est croissante sur [0; +∞[, elle est donc croissante sur ]-∞; +∞[ soit donc sur lR tout entier.

3.a.b.c.

Il faut d'abord tracer la courbe représentative de la fonction cube.
Une fois ceci fait, il suffit de tracer les droites horizontales d'équation y=8, y=-1 et y=-27

L'intersection de ces droites avec la courbe de la fonction donne respectivement un point pour chaque droite horizontale. Il faut tracer la droite verticale passant par chacun de ces points. On doit obtenir respectivement les droites d'équation x=2, x=-1 et x=-3.

La résolution graphique est alors aisé:
x³ < 8 ↔ x < 2
x³ > -1 ↔ x > -1
x³ + 27 > 0 ↔ x > -3

4.

On a vu que la fonction cube est croissante sur IR.

Donc pour tout couple de réels (a; b) tel que (a≤b), on a f(a)≤f(b).
Donc si a ≤ b, a³ ≤ b³.
Autrement dit, si a-b ≤ 0, a³-b³ ≤ 0.

Donc pour tout couple de réels (a; b) tel que (a≥b), on a f(a)≥f(b).
Donc si a ≥ b, a³ ≥ b³.
Autrement dit, si a-b ≥ 0, a³-b³ ≥ 0.

On en conclu donc que a³-b³ est toujours du signe de a-b.

x³ + 1 = x³ - (-1)³
Donc x³+1 est du signe de x+1.

8x³ - 27 = (2x)³ - (3)³
Donc 8x³-27 est du signe de 2x-3.


Voilà ce que j'ai fais avec un professeur

Tu tapes vachement vite ! Et ton prof ne doit pas avoir fait d'erreurs ! Fais lui confiance !

J'espère uniquement que tu as compris ce que tu as recopié :

même les  """On a prouvé""" et """Par le même raisonnement""" et """On en conclut que """

qui ne sont pas vraiment des phrases qu'on trouve souvent dans les copies de quelqu'un de seconde qui ne comprend pas son exo à 19h34 et qui a tout bon à 19h56

Etonnant comme progression ! Tu me donneras la marque de ta boule de cristal !