La limite de ce taux d'accroissement est bien égale à .

Cela implique que la fonction n'est pas dérivable en 0 car le taux d'accroissement n'admet pas de limite finie.

Sinon, je voudrais une valeur exacte pour ma question concernant les variations.
On va procéder autrement.
Résout moi l'équation .
Je voudrais une valeur exacte (donc sans calculatrice).

Kaiser

ln x = -1 et apres j'ai bloqué! donc calculatrice!

passe à l'exponentielle !

Kaiser

exp -1 = x?

oué ca marche ca peut etre ke ca! merci bcp bcp! maintenant je vais m'amuser a tout bien recalculer et rédiger mais merci!

Oui, tout simplement !


Maintenant, de la même manière, on trouve que 1+ln(x)>0 si et seulement si
, et on a obtenu les variations de la fonction.
Maintenant, revenons à notre taux d'accroissement : on a vu que sa limite valait .
Quelle interprétation géométrique en fais-tu ?(ça c'est du cours)

Kaiser

quelqu'un purrait venir m'aider svp !!! ça serait très sympo je suis un cas désespéré lol

lolote972> tu ne peux pas intervenir sur le topic des autres pour demander de l'aide.

Kaiser

que cette fonction est discontinue non? un truc ds le genre

ou peut etre il y a une asymptote verticale non?

La fonction ainsi définie est bien continue et il n'est pas question d'asymptote.
C'est autre chose.

Kaiser

aaaaaa j'ai une question, là on a fait dans le cas ou x est positif mais si x est négatif on a - x^-x
et dans ce cas c'est possible?

Bonjour irwin219

De toutes façons, on a notre fonction qui est définie uniquement sur l'ensemble
des réels positifs, donc les réels strictement négatifs, on ne s'en préoccupe pas du tout.

kaiser

mais pourquoi elle ne serait pas definie pour des réels negatifs -1^-1 existe non?

Dans ce cas, lorsque x est négatif, la fonction ne serait définie uniquement lorsque x est un entier. Sinon, cela n'a pas de sens.
Par exemple, n'a pas de sens.

D'un autre côté, n'a été définie uniquement sur l'ensemble des réels positifs.

Kaiser

ok mais par contre l'interpretation graphique recherchée a un rapport avec les nombres négatifs?

Aucun.
Normalement, tu as du voir en cours ce que ça voulait dire lorsque le taux d'accroissement tend vers ou .
Si tu ne t'en souviens pas, je vais essayer de te le faire retrouver.
Graphiquement, si g est une fonction dérivable en un certain point a, que représente ?
Kaiser

f'a est la derivée non?

Oui mais graphiquement, ça représente quoi ?

Kaiser

c'est une histoire de tangente?

oui, mais quelle tangente ? De plus, que représente ce nombre dérivé par rapport à cette fameuse tangente ?

Kaiser

c'est le coeff directeur non?

oui.
Sinon, quelle est cette tangente ?

Kaiser

f'a (x-a) + f(a) ??

C'est ça, donc c'est la tangente en a (c'était ça la réponse que j'attendais )
Maintenant, voyons ce que ça signifie lorsque le taux d'accroissement tend vers ou .

On va d'abord voir le cas où ça vaut .

En toute rigueur, on ne peut pas dire que le nombre dérivé vaut et que la tangente a une pente (ou un coefficient directeur) égalà mais ici, on va d'abord faire comme si.

Imaginons un instant une droite qui a une pente égale à . Quelle tête aurait cette droite ?

Kaiser

je vois pas du tout là la tête qu'elle aurait!

raisonnons seulement intuitivement.
D'une certaine manière est "positif" donc ça donnerait une droite de coefficient directeur positif donc croissante mais comme est très grand, alors ta droite est en fait verticale.

C'est ça que ça veut dire. Une droite de pente infinie n'est rien d'autre qu'une droite verticale.

Kaiser

aaaaa ok donc l) on aurait une tangente qui serait une droite verticale ?

En fait, en cours, tu as dû voir que dans ce cas, on n'a pas une tangente mais seulement une demi-tangente (donc seulement une demi-droite) qui est orientée vers le haut, ou vers le bas selon que la limite du taux d'accroissement vaut ou .

En l'occurrence, comme la limite vaut , la demi-tangente est orientée vers le bas.

Kaiser

mais cette demi tangente part de quel point?

Dans notre exemple, vu que l'on regardait ce qui se passait en 0, alors la demi-droite par de 0.

Kaiser

oki bah je crois que j'ai compris merci beaucoup je vais reviser les petites formules de bases des dérivées mais merci encore et surment a bientot!

Mais je t'en prie !
À bientôt sur l' !

La réponse évidente est R+* auquel on peut ajouter {0} car la limite de x^x pour x0+ est égale à 1.

La réponse moins évidente est de considérer tous les rééls négatifs pour lesquels x^x a un sens. Par exemple (-1)^-1=-1 donc il faut logiquement inclure -1 dans le domaine de définition. En fait tous les entiers négatifs conviennent parfaitement : Donc il faut ajouter - à l'ensemble de définition.

Est-ce tout ? En fait non, on doit aussi considérer les rationnels comme -1/3 car la racine cubique d'un nombre négatif existe. Mais on peut alors aussi inclure les fractions -n/3 pour tout entier n. Pour aller plus loin toute fraction du type -n/(2m+1) où n et m sont entiers positifs convient.

d'où Df = R+{-n/(2m+1); n, m}