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Double Somme

Posté par
Nester 16-09-11 à 18:31

Bonjour à tous , je sèche un petit peu pour cet exercice simplement au niveau de la notation en fait
il faut simplement calculer la somme

\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}min(i,j)

Je ne comprends pas tellement ce que signifie min(i,j) est ce le fait qu'il faille considérer la plus petite des deux valeurs et si oui comment entamer le calcul ? Ce n'est pas du tout pressant  vu que le prof ne nous a pas demandé de le faire mais j'aimerais bien réussir !

Merci et bon WE à tous

Posté par
Porcepicre : Double Somme 16-09-11 à 18:40

Bonsoir,

Si tu commences par sommer sur i, quand i est fixé, la somme sur j peut se décomposer en deux parties :
— pour j allant de 1 à i, on aura min(i,j)=j ;
— pour j allant de i+1 à n, on aura min(i,j)=i.

Donc \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{\rm min}(i,j)=\sum_{i=1}^n\left\{\sum_{j=1}^i j+\sum_{j=i+1}^n i\right\}=....

Posté par
Nesterre : Double Somme 16-09-11 à 19:32

Je ne sais pas si j'ai bien saisi ce que vous avez essayé d'expliquer ... cela signifierait donc que j'ai

\\ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}min(i,j)=\sum_{i=1}^{n}\left\lbrace(1+2+3+....+i)+(2+3+4+...+n)\right\rbrace

Posté par
Porcepicre : Double Somme 16-09-11 à 20:01

OK pour la première somme sur j.
En revanche, pour la deuxième, ça n'est pas ça.

\sum_{j=i+1}^n i=\underbrace{i+i+...+i}_{n-i\,{\rm termes}}

Posté par
Nesterre : Double Somme 16-09-11 à 20:29

Ha oui au temps pour moi !

Je sais que la somme des \sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}

Donc j'obtiens  

\sum_{i=1}^{n} \frac{i(2n-1+i)}{2}

Ca me parait bizarre ...

Ps: on a juste eu le cours en poly pour l'instant donc j'ai un peu de mal ..désolé !

Posté par
Porcepicre : Double Somme 16-09-11 à 20:55

Ouais a priori c'est bon.

Maintenant il suffit de découper ta somme et faire sortir de la somme les facteurs qui ne dépendent pas de i de façon à se retrouver avec un truc de la forme :

\alpha\sum_{i=1}^n i+\beta\sum_{i=1}^n i^2

où on sait calculer les deux sommes.

Posté par
Nesterre : Double Somme 16-09-11 à 21:13

ok donc j'obtiens \\ \\ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^ni^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n i(2n-1)

Je vais essayer d'achever le calcul !

Posté par
Nesterre : Double Somme 17-09-11 à 10:53

Hum , je crois que je m'embrouille un peu dans la fin des calculs ... pour la deuxième somme comment suis je sencé m'y prendre ?

Posté par
Porcepicre : Double Somme 17-09-11 à 13:56

2n - 1 ne dépend pas de i, donc tu peux le mettre en facteur.

\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n i(2n-1)=\frac{2n-1}{2}\sum_{i=1}^n i

Posté par
Nesterre : Double Somme 17-09-11 à 18:34

Oui j'avais compris entre temps , merci de ton aide !


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