re....

en choisissant un vecteur dont les coordonnées seront telles que le produit scalaire soit nul....il y en a beaucoup !...........et pour cause...j'espère que tu t'es représenté dans l'espace ce que cela voulait dire !...

Je me représente dans l'espace pour résoudre des exercices afférent à ce thème mais la solution ne découle pas toujours directement de cette représentation intuitive.

J'ai par exemple cet exo :
On considère deux droites de l'espace:

La droite d1 passe par le point A(3;-3;-2) et a pour vecteur directeur (2,-4,1).

La droite d2 passe par le point B(-1;-5;-2) et a pour vecteur directeur (-2,4,-1).
On s'intéresse à leur position relative.

Il s'agit de savoir si elles sont confondues, non coplanaires, strictement parallèles ou sécantes.

Par représentation dans l'espace (je place A et B dans un repère ainsi que les vecteurs u et v liés aux points A et B), je dirais qu'elles sont strictement parallèles.
Mais s'il ne s'agissait pas d'un qcm, comment aurais-je du faire ? Même si cette notion est d'abord intuitive.

je regarde demain, car pour ce soir, j'arrête !....
Bonne soirée !

Bonne soirée

alors,
pour ton exemple numérique, je lis l'énoncé, et me représente simultanément les positions relatives possibles de 2 droites de l'espace, pour ne pas passer à côté d'une possibilité

ensuite, j'ouvre mes yeux § (toujours !)
et la proportionnalité des vecteurs me sautent aux yeux....

donc elles sont parallèles, c'est évident

reste à savoir si elles ont strictement parallèles ou confondues
honnêtement, au coup d'œil, là je ne sais pas dire....

alors je me refais un dessin dans la tête....à quelle condition ce serait la même droite, et j'aboutis à ce croquis...

donc je calcule le vectAB (-4,-2,0) et comme il a un zéro en dernière composante, il n'est évidemment pas dépendant de u et de v (qui eux n'ont pas de composante nulle), donc les 2 droites sont strictement parallèles

voilà pour le second
je vais t'envoyer un croquis ensuite pour ta 1re question

tu remarqueras que ce soit dans les complexes, ou en géométrie, j'emploie énormément les dessins...

pour disais-tu "un vecteur normal" à un vecteur donné

et je t'avais répondu, il y en a beaucoup....eh oui, ils forment le plan vectoriel orthogonal au vecteur donné, il y en a donc une infinité répondant à la question
et personnellement, j'ai visualisé ça comme ça...

après si tu veux en donner un
tu peux prendre (b, -a, 0) pourquoi ? parce que son produit scalaire avec celui qui est donné vaut zéro
ba-ab+0=0

voilà !

Merci beaucoup

J'ai essayé de traduire ces résultats de façon très générale pour voir si j'avais bien compris cette notion. J'espère ne pas me tromper, mais si j'ai bien compris alors les choses peuvent se résumer comme ça :

Soit deux droites. Si, pour chaque droite, on a les coordonnées d'un point lui appartenant et un vecteur directeur, alors ces droites sont :

I. Coplanaires si leurs vecteurs directeurs et le vecteur formé des deux points leur appartenant sont coplanaires ces trois vecteurs forment une famille liée
    I.1. Parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
              I.1.a Confondues si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires et si le vecteur formé par les points leur appartenant est colinéaire aux vecteurs directeurs de ces droites.
              I.1.b Strictement parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires et si le vecteur formé par les points leur appartenant n'est pas colinéaire aux vecteurs directeurs de ces droites.
    I.2. Sécantes si  leurs vecteurs directeurs et le vecteur formé des deux points leur appartenant sont coplanaires et si leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires
II. Non coplanaires si leurs vecteurs directeurs et le vecteur formé des deux points leur appartenant sont non coplanaires ces trois vecteurs forment une famille libre ces trois vecteurs sont indépendants

Si c'est ça, c'est cool

PS : tes dessins sont magnifiquement beaux, je me demande d'où ils viennent...

alors je ne vois pas d'erreur à ce que tu as écrit
donc tu as bien digéré....


les dessins viennent tout simplement de geogebra
mais que ce soit geogebra, ou au tableau avec une craie...l'essentiel est le dessin !....

On sent l'expérience du professeur

Merci beaucoup !

de rien !