Niveau maths spé

dual - algebre lineaire

Posté par
cubeenay 19-10-08 à 23:48

bonjour, je bloque sur l'exercice suivant
soit MMn() on a l_i(M)= $\displaystyle \sum_{j=1}^n M_{i,j}$ et c_j(M)= $\displaystyle \sum_{i=1}^n M_{i,j}$

- montrer que la famille {l₁,l₂,...,l_n,c₁,c₂,...,c_n-1} est libre dans le dual de Mn()
- déterminer la dimension de A={MMn() tq li(M)=ci(M)=0}

pour la famille libre je definis {e*1,e*2,...,e*n²} la base dual de Mn(C) heu et après c'est je vois pas trop comment intégrer des i la dedans..

pour la dimension de A je vois bien la tête de la matrice mais je sais pas comment généraliser proprement la dimension

merci d'avance de m'éclairer un peu sur la démarche à suivre

Posté par re : dual - algebre lineaire 20-10-08 à 00:15

Bonjour, cubeenay

Considérons l'égalité   $4$ \sum_{i=1}^n\alpha_i l_i+\sum_{i=1}^{n-1}\beta_ic_i=0$

On a alors:   $4$ \forall M \in M_n(C) \ \left(\sum_{i=1}^n\alpha_i l_i+\sum_{i=1}^{n-1}\beta_ic_i\right) (M)=0$

En posant   $M=E_{i,n}$ on obtient   $\alpha_i=0$   (ceci pour i=1,...,n

En posant ensuite     $M=E_{1,j}$   sachant que tous les alpha_i sont nuls, on obtient   $\beta_j=0$   ceci pour  j=1,...,n-1

On en déduit la liberté de la famille considérée.

Pour la deuxième question: si tu es en Spé MP, ton cours, qu'il faudra relire soigneusement, te donne directement la dimension de l'espace considéré:  n²-(2n-1)

Posté par re : dual - algebre lineaire 20-10-08 à 00:19

Bonsoir.

Appelons E_k,l la matrice de M_n(C) dont tous les termes sont nuls sauf celui de rang (k,l) qui vaut 1.

On a

L_i(E_k,l) = _i,k

C_j(E_k,l) = _j,l

Appelons O* la forme nulle

Alors

$2$\textrm\Bigsum_{i=1}^na_iL_i + \Bigsum_{j=1}^{n-1}b_jC_j = O*\\ \\ \\ \Longleftrightarrow \ \forall M\in M_n(C) \Bigsum_{i=1}^na_iL_i(M) + \Bigsum_{j=1}^{n-1}b_jC_j(M) = 0$

En particulier, pour toute matrice E_k,l :

$2$\textrm\Bigsum_{i=1}^na_i\delta_{i,k} + \Bigsum_{j=1}^{n-1}b_j\delta_{j,l} = 0$

En prenant l = n, cela donne pour tout k entre 1 et n, a_k = 0

En prenant l entre 1 et n-1, cela donne b_l = 0

La famille (L) proposée est bien libre.

A représente l'orthogonal de (L) donc, dim(A) = codim[vec(L)] = n² - n(n-1) = n.

Posté par re : dual - algebre lineaire 20-10-08 à 00:21

Erreur de ma part en dernière ligne : n² - (2n - 1) = (n - 1)²

Posté par re : dual - algebre lineaire 20-10-08 à 00:22

Bonsoir Perroquet.

Je suis toujours aussi lent !

Posté par re : dual - algebre lineaire 20-10-08 à 10:31

Pour la dernière question si i est vraiment fixé on doit trouver n²-2 . Si c'est pour tout i alors je suis d'accord avec les réponses précédentes.

Posté par re : dual - algebre lineaire 22-10-08 à 12:52

Merci beaucoup raymond et perroquet pour vos réponses.

pour la dernière question c'est bien pour tout i variant de 1 a n
En revanche n'étant pas en MP, ce résultat pour la dimension de A ce m'est pas trivial
je pense voir qu'on a à chaque fois sur les lignes un coefficient lié au reste de la ligne et idem sur les colonnes ce qui m'amènerai à n²-2n. Je dois donc surement compter en double quelque chose..

Bref, comment trouver plus rigoureusement ce résultat (sans utiliser la codim que je ne connais peut etre pas encore )?

Posté par re : dual - algebre lineaire 22-10-08 à 18:52

bonsoir,
heu.. un détail me perd d'autant plus : on a bien Dim(Mn(C))=2n² non?
alors on aurait sur chaque ligne et colonne le module et l'argument de lié soit au final dim(A)=2n²-4n

bref plus je cherche plus je m'éloigne de la solution j'ai l'impression

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

algèbre en post-bac
28 fiches de mathématiques sur "algèbre" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

dual - algebre lineaire

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths