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Dual d'un ev de dimension infinie
Bonjour,
dans un exo, on me demande de déterminer les idéaux bilatères de End(E), où E est un ev de dimension finie. J'ai la correction, et je l'ai comprise :
On commence par définir la base canonique de End(E), (E_i,j).
Pour a dans E et a* dans E*, on définit alors l'élément de End(E) a
a* par aa*(x)=<a*,x>a. On prend un endomorphisme u de E non nul, et on arrive à trouver a,a*,b,b* tq aa* o u o bb*= Ei,j. Ca montre que tous les E_i,j sont dans l'idéal engendré par u, donc cet idéal est égal à E. Ok c'est fini.
Puis on remarque qu'en dimension infinie, les endomorphismes de rang fini constituent un idéal bilatère. C'est donc que la démonstration du dessus ne marche pas, mais je n'arrive pas à voir où...
Merci de votre aide !
Bonjour
Je n'ai pas vu les détails de "on arrive à trouver a,a*,...". Mais je pense que le problème vient du fait qu'en dimension infinie, les ne forment pas une base de (End(E))* et tu as surement utilisé quelque part ce fait en dimension finie!
Pour les détails, on remarque que si (e_1,...,e_n) est une base de E et (e_1*,...,e_n*) la base dual, alors aa* o u o bb*(e_k)=<b*,e_k><a*,u(b)>a
On prend alors a=e_i, b dans E tq u(b) non nul, b*=e_j*, et on choisit a* tq <a*,u(b)>=1.
On peut bien parler de base et de base dual d'un ev de dimension infinie, non ? Le seule problème viendrait alors du choix de a*...?
(e_1,...,e_n) est une base de E et (e_1*,...,e_n*) la base du dual
C'est tout le problème! Si on a une base
Alors traitons le cas de la dimension finie.
Pas de problème pour choisir a, b, b*. u(b) est non nul, donc il a une composante non nulle sur un vecteur e_k. Je choisis alors a*=K.e_k*, où K est bien choisi pour que <a*,u(b)> vaille 1.
Qu'est ce qui m'empêche de faire la même chose en dimension infinie avec une base de E (e_i), et la "famille" duale (e_i*) (puisque ce n'est pas une base, je ne le savais pas).
Pourtant, si je fais la même chose, je montre que E_i,j est dans l'idéal, et (E_i,j) reste une base de End(E), non ? Donc tout End(E) est dans l'idéal...
Désolée, j'aurais du me réveiller plus tôt! Les déjà ne forment pas une base de End(E)!
Regarde: On prend E=R[X] (les polynômes). Je prends pour base la canonique:
Ce que tu appelles est défini par
et
si
Mais l'endomorphisme f défini par f(P(X))=XP(X), n'est pas dans l'espace engendré par ces trucs!
Non, E_i,j n'est plu une base de End(E), ca reste libre bien sur mais ce n'est plus generateur, l'espace engendré par les Eij est le sous espaces de endomorphismes de rang fini...et on retombe bien sur nos pattes.
C'est bien clair maintenant.
Si je ne me trompe pas, l'identité ne peut pas être exprimée dans cette base, car ce serait la somme infinie des E_i,i...
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