Bonjour,

J'ai du mal sur une question de mon DM sur la réduction, le but du problème 1 est de démontrer le « théorème de l'élément primitif » :

- Soit π(f,x) le polynôme minimal de f(x)
- soit π(f) le polynôme minimal de f
—> Alors ∃! x tq π(f(x))=π(f)

avec une preuve constructive (autres que celles vue en cours):
1) soit z ∈ vect(x,y ) = mq π(f,z)|ppcm(π (f,x)π (f,y))
2) si PGCD(π (f,x),π (f,y))=1 alors mq : π(f,x+y)=π (f,x)*π (f,y)
3) si PGCD(π (f,x),π (f,y))=1 alors mq : K[f](x) + K[f](y) = K[f](x+y)
    Et que ces deux ensemble sont en sommes direct.
4) pour P, Q polynômes unitaires, comment calculer effectivement (sous formes d'algorithmes programmables) A et B diviseur de P et Q respectivement tq PGCD(A,B) =1  et PPCM(P,Q)=AB

Je bloque à deux questions, la 3 et la 4…
Pour la 3) j'ai bien sur l'inclusion triviale <- mais je ne comprend pas l'inclusion K[f](x) + K[f](y) ⊂ K[f](x+y) qui me parait en faite fausse…
Merci de toute aide