Dans ces problèmes, il est bon de faire un dessin pour voir ce qu'il se passe. Sur le dessin, il faut représenter tous les indices qui font partie de la somme.
Premier dessin (correspondant à S1) : tu dessines tous les couples (i,j) tq 0in, et ijn.
Second dessin (correspondant à S2) : tu dessines tous les couples (i,j) tq 0jn, et 0ij.

(pour les dessiner, tu prend une feuille quadrillée et tu représente le point (i,j) par un point)

Tu te rendras compte que les deux dessins sont identiques. On va donc sommer les mêmes et la somme sera donc la même. Entre S1 et S2, la seule chose qui change c'est "l'ordre de sommation" : dans S1, on commence par sommer sur j puis sur i (on calcul donc d'abord la somme des termes sur chaque colonne, puis on ajoute ces sommes entre elles), dans S2, c'est l'inversae, on somme d'abord sur les lignes puis sur les colonnes.

en effet c'est beaucoup plus clair avec des dessins.. merci!

mais est-ce que ces dessins suffisent pour montrer l'égalité ou il faut absolument passer par un calcul?

Ca dépend des attentes de celui qui va te corriger ^^ Dans les deux cas, il faut bien avoir le dessin en tête. Tu peux toujours expliquer le dessin avec une phrase genre "on somme les mêmes termes dans S1 et S2, à savoir les x_i,j tels que (i,j) appartienne au domaine D du dessin, l'ordre de sommation n'important pas (autrement dit, la somme étant commutative), on aura S1=S2". Je ne saurais même pas comment arriver à ce résultat avec un calcul rigoureux (sans passer par les fonctions indicatrices)...

d'accord, donc j'aurais pu me casser la tête longtemps sur le calcul vu que je ne sais pas ce que c'est que les fonctions indicatrices ^^

en règle générale, mon prof aime bien faire des ptits dessins quand on fait des ensembles par exemple...
donc je pense que je vais faire comme ça.

merci beaucoup de tes réponses rapides!

Non mais il doit y avoir moyen de le faire simplement, c'est juste que je déteste ce genre de calculs et que je ne sais pas faire...

En proba on a souvent des "interversions" à faire, et j'utilise souvent les fonctions indicatrices. C'est pas compliqué. Pour ton exemple, je définis par exemple la fonction f_i sur {1,...,n}, avec f_i(j)=1 si ji, et 0 sinon.

Alors

J'ai fait tout ça pour que l'indexation de la deuxième somme de dépende plus de i. maintenant, comme on a une somme finie de termes (il y en a (n+1)²), je peux intervertir les deux sommes, ça donne :



Mais comme f_i(j) vaut 0 si i>j et 1 autrement, y'a des termes qui disparaissent, et

Et donc ça donne

C'est quelque chose que j'ai jamais appris à faire, et le prof va peut-être trouver ça étrange...
je préfère démontrer avec des dessins, d'une façon que j'ai comprise, plutôt que réecrire une solution toute faite, quite à avoir une moins bonne note

Oui oui tu as raison, ma solution n'est pas très adaptée, c'était juste pour démysthifier la notion de "fonction indicatrice" (c'est la fonction que j'ai appelée "f").