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Egalité de Vect{..}

Posté par
gui_tou 21-04-08 à 14:38

Bonjour à tous

Citation :
On note 3$\rm E=\bb{R}^R , on rappelle que E est un espace vectoriel.

On pose : 3$\fbox{\forall k\in\mathbb{N},\;\forall x\in\mathbb{R},\;u_k(x)=\cos^k(x),\;\;v_k(x)=\cos(kx)

1. J'ai montré que les familles 3$\rm(u_0,...,u_n) et 3$\rm(v_0,...,v_n) sont libres dans E.

2. Montrer que 3$\rm\fbox{Vect\{u_0,...,u_n\}=Vect\{v_0,...,v_n\}


J'ai pensé à plusieurs trucs, du genre :

¤ une récurrence, avec l'utilisation des formules de trigo (par exemple : 3$\cos((n+1)x)=\cos(nx+x)=... )

¤ invoquer Tchebychev

Que me conseillez-vous ?

Merci

Posté par
tealcre : Egalité de Vect{..} 21-04-08 à 14:42

Salut gui_tou

perso j'aurai utilisé les polynômes de Tchebychev qui te règlent le problème en deux coup de cuiller à pot (avec un minimum de reflexion) ...

Posté par
gui_toure : Egalité de Vect{..} 21-04-08 à 14:48

salut tealc

ok, bon ba je sors le bazooka

je vais essayer de soigner les détails, du genre dire que le poly est bien de degré exactement égal à n etc ^^

Posté par
carpediemegalité de vect{...} 21-04-08 à 16:13

si U et V sont tes deux ev alors dim U = dim V =n+1 (si ton n est fixé)
donc tes familles libres sont des bases
Tchebychev te permet de montrer que U V donc U=V (vraie en dim finie)
et faux en dim infinie (enfin il me semble)donc il faudra l'autre inclusion

rem: Tchebychev c'est simplement la linéarisation écrit autrement

d'aute part u0=v0 et u1=v1
et tu peux montrer par rec. que ukVk=Vect{vi/ik}

... enfin il me semble...

Posté par
carpediemegalité de vect{...} 21-04-08 à 16:15

désolé : pemute "u" et "v" (dernière ligne) donc tu as l'autre inclusion

Posté par
gui_toure : Egalité de Vect{..} 21-04-08 à 16:32

Lut carpediem

J'ai essayé d'être le plus propre possible en faisant une double inclusion.

Fixons 3$\rm n\in\bb{N

3$\rm\fbox{Montrons que Vect\{u_0,...,u_n\}\subset Vect\{v_0,...,v_n\}

Soit 3$\rm f\in Vect\{u_0,...,u_n\}, ie 3$\rm \exists(\alpha_0,...,\alpha_n)\in\mathbb{R}^{n+1},\;/\;f=\alpha_0.u_0+\alpha_1.u_1+...+\alpha_n.u_n

On montre que : 3$\rm \exists(\beta_0,...,\beta_n)\in\mathbb{R}^{n+1},\;/\;f=\beta_0.v_0+\beta_1.v_1+...+\beta_n.v_n
___________________

3$\rm f=\alpha_0.u_0+\alpha_1.u_1+...+\alpha_n.u_n  ie  3$\forall x\in\mathbb{R},\; f(x)=\alpha_0+\alpha_1.\cos(x)+...+\alpha_n\cos(nx)

Or les polynômes de Tchebychev assurent l'existence et l'unicité d'un polynôme 3$\rm T_n\in R_n[X] tel que 3$\rm{T_n}(\cos(x))=\cos(nx) et 3$\rm deg(P)=n (3$x\in\bb{R)

donc 3$\forall n\in\mathbb{N},\;\forall x\in\mathbb{N},\;\exists(a_0,...,a_n)\in\mathbb{R}^{n+1}\;/\;\cos^n(x)=a_0+a_1\cos(x)+a_2\cos(2x)+...+a_n\cos(nx)

et ainsi, on a bien 3$\fbox{\rm \exists(\beta_0,...,\beta_n)\in\mathbb{R}^{n+1},\;/\;f=\beta_0.v_0+\beta_1.v_1+...+\beta_n.v_n et 3$\rm\fbox{\red Vect\{u_0,...,u_n\}\subset Vect\{v_0,...,v_n\}


Même chose à peu près pour l'autre inclusion.

Ca passe ?

Posté par
Rodrigore : Egalité de Vect{..} 21-04-08 à 16:36

Bonjour
Juste un détail... pas besoin de l'autre inclusion par un argument de dimension.

Posté par
gui_toure : Egalité de Vect{..} 21-04-08 à 16:38

Bonjour rodrigo

Et qu'est-ce qui permet justement de dire que les dim sont égales ? Que les poly de tchebychev sont de degré exactement égal à n ?

Posté par
Rodrigore : Egalité de Vect{..} 21-04-08 à 16:40

Non que les deux familles soient libres et de cardinal n+1

Posté par
carpediemegalité de vect{...} 21-04-08 à 16:46

c'est ce que je disais
d'autre part pour te simplifier la vie au lieu de prendre un f prend simplement un ui par def de Vect{...}
si tu obtiens les ui alors tu obtient Vect{ui}

Posté par
gui_toure : Egalité de Vect{..} 21-04-08 à 16:51

Okédac merci !

Posté par
carpediemegalité de vect{...} 21-04-08 à 16:53

le degré des poly de Tchebychev n'ont rien à voir (enfin pas vraiment) il t'assure simplement qu'il existe une (au moins (donc bof pour l'unicité)) combinaison linéaire pour passer de V à U
(il manque un symbole d'inclusion mais bon tu as tout comprendu )

sinon ça a l'air bon


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