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Eléments idempotents et isomorphie
Enoncé :
Soit A un anneau commutatif unitaire. Soit e dans A idempotent : e² = e.
1) Montrer que eA = {ea, a A} est un sous-anneau de A possédant un élément neutre.
2) Soit e' = 1-e, montrer que e' est un idempotent de A et que ee' = 0.
3) Montrer que A est isomorphe à eA x e'A.
4) Montrer que réciproquement si A=BxC est la somme directe des anneaux B et C, alors il existe deux idempotents e et e' tels que ee' = 0, B = eA et C = e'A.
5) Trouver les éléments idempotents de l'anneau et montrer qu'il est isomorphe à
x
.
6) Montrer que le résultat de cet exercice est faux si on ne suppose pas A commutatif.
Mes réponses :
1) Pour x,y dans eA, x-y et xy sont encore dans eA. Bien sûr O est dans eA. Et pour finir, eA a un élément neutre pour la multiplication qui n'est autre que e.
2) Immédiat.
3) J'ai pris f de A dans eA x e'A défini pour tout a dans A par : f(a) = (ea,e'a).
f est bien un morphisme (se vérifie facilement).
f est injectif car : "a dans Ker f" équivaut à "a = 0".
f est surjectif car pour tout b=(x,y) dans eA x e'A, en posant a = x+y (dans A), on obtient que f(a) = b.
Bref, f est un isomorphisme donc les deux anneaux sont isomorphes.
4) Là je ne suis pas sûr d'avoir compris la question. Il faut que je démontre la réciproque.
Je suis parti de l'hypothèse que A était la somme directe de B et C et que l'application f de A dans BxC qui à a=b+c associe (b,c) est un isomorphisme.
Du coup, j'ai posé (e,e')=f(1A) et j'ai montré tout ce qu'il fallait : B = eA et C = e'A (par double inclusions), e et e' idempotents (immédiat), ee' = 0 (en utilisant à un moment le fait que A est la somme directe de B et C).
Mais je ne suis pas sûr d'être parti du bon endroit, j'ai du mal à comprendre la phrase de l'énoncé...
5) Posons A = , B =
et C =
.
Les idempotents de A sont [0], [1], [3] et [4]. Je me suis dit qu'il suffisait de montrer que [3]A = B et que [4]A = C pour ensuite réutiliser les questions précédentes. Mais je n'y parviens pas, je m'embrouille dans les classes en fonction de l'anneau dans lequel je travaille...
6) Si on se place dans l'anneau des matrices 2x2 à coefficients réels (nommons-le A), la matrice E = {3,-1 // 6,-2} est idempotente mais l'ensemble EA n'est pas un sous-anneau de A car il n'est pas stable pour la multiplication (on a besoin de la commutativité).
Tu ne poses aucune question, donc je suppose que tu attends des commentaires...
3) La détermmination de Ker(f) et la surjectivité demandent un peu plus d'explications!
4) Il vaut mieux oublier f et partir de l'hypothèses
"tout élément de A s"écrit de manière unique a=b+c avec ". En effet, tu écris
et ensuite tu déroules la mécanique!
5) Tu ne peux pas identifier si vite! C'est vrai que dans , 3 et 4 sont idempotents et que 3+4=1. Mais les questions précédentes permettent juste de dire que
on ne sort pas de l'anneau initial, on a toujours des classes modulo 6.
C'est maintenant seulement que tu prouves séparément que et
Salut ! Merci de ta réponse.
C'est vrai que je n'ai pas été d'une clarté exemplaire. En fait les questions 1),2),3) n'ont posé aucun problème (oui, pour la bijectivité de f j'ai plus détaillé).
Pour la question 4), merci de ta reformulation, je comprends un peu mieux. Mais je ne vois pas comment faire pour montrer ce qui est demandé sans utiliser l'isomorphisme (faut-il d'ailleurs prouver que c'en est un ?) qui à b+c associe (b,c).
Pour la question 5), merci, j'ai compris.
{
}
{
}
Ai-je besoin de justifier outre mesure que c'est bien isomorphe (respectivement) à et
en dégainant deux applications et en montrant que ce sont bien deux isomorphismes ?
Pour la question 6), je ne suis pas certain de ma réponse.
En fait, pour justifier que EA n'est pas un sous-anneau de A, il faudrait que je trouve A1 et A2 dans A telles que EA1EA2 ne soit pas dans EA. Et je n'ai pas réussi... du coup je doute que ma réponse soit correcte.
4) Non, tu ne reviens pas à l'isomorphisme... D'abord j'ai mal lu la question... mais il y a un os: Si ça n'a aucun sens de dire que c'est somme directe de B et C qui ne sont pas des sous-ensembles de
.
Dans mon esprit, je suis partie de . On écrit 1=e+e' avec les trucs ou il faut. Alors
donc
de même,
. Comme
, on a en même temps
et e et e' idempotents. la suite est facile.
5) Ca dépend du niveau, moi je n'ai aucun scrupule à affirmes ces isos...
6) En effet, pour les matrices 2 fois 2 ça n'a pas l'air de marcher... Je réfléchis encore!
4) Oui, j'ai eu beaucoup de mal à comprendre la question en la lisant, c'est pourquoi ta reformulation me semblait beaucoup plus logique. Je crois d'ailleurs que je vais faire comme ça. Merci pour ton aide !
5) Ok.
6) Petite précision, dans l'énoncé il est conseillé de chercher un contre exemple du côté des matrices 2x2 à coefficients réels. C'est pourquoi je suis parti dans cette direction, mais pour l'instant toujours sans succès.
Oh, c'est le premier endroit où on a envie de chercher... mais avec un idempotent qui ne commute pas avec tout le monde, je trouve quand même des parties multiplicativement stables, et je pense pouvoir démontrer que le résultat est quand même vrai dans cet anneau! Je suis sure qu'il y a des contrexemples, mais pour l'instant j'en ai pas, justement parce que des anneaux non commutatifs autres que les matrices... ça court pas les rues! Donc j'y réfléchirai tranquillement, pas en faisant en même temps des asymptotes et des primitives!
Bien... on ne cherchait pas là ou c'était! En fait, eA est toujours stable multiplicativement! (ea)(ea')=e(aea') et il n'y a pas de problème. Mais... e n'est pas élément neutre et f n'est pas un morphisme d'anneaux!
Alors si tu prends je te laisse déterminer EA, montrer que E n'est pas élément neutre et trouver des matrices M et N telles que
Curieusement, ça reste vrai que
Merci d'avoir continué à y réfléchir ! De mon côté j'ai essayé plusieurs choses sans succès...
EA est l'ensemble des matrices de la forme (a . b // 0 . 0) avec a,b réels.
Soit la matrice M = (0 . 1 // 0 . 0)
EM = M mais ME = 0 (différent de M) donc E n'est pas élément neutre de EA.
Est-ce que je peux m'arrêter là ? Est-ce que ça suffit pour dire que le résultat de l'exercice peut être faux dans un anneau non commutatif ?
Je n'ai pas compris : à quoi sert d'exhiber un contre exemple pour l'égalité (EM)(EN) = E(MN) ?
On peut prendre M = (1 . 1 // 0 . 0) et N = (0 . 0 // 1 . 1)
Oui, tu as prouvé que E n'est pas élément neutre de EA. Il serait peut-être bon de prouver que EA n'en a pas du tout.
Le fait de prouver que montre que la f du début n'est pas un morphisme pour la multiplication.
Oui, tu peux dire que les résultats sont faux dans un anneau non commutatif.
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