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Elements nilpotents d'un anneau
Salut tout le monde, j'ai un petit exo pour demain qui me pose bien des problèmes.
On se place dans un anneau A quelconque et on prend a et b deux éléments de cet anneau.
1. Montrer que si ab est nilpotent alors ba l'est également.
Ca j'ai su faire en montrant que si ab nilpotent alors il existe un entier naturel n non nul tel que abn=0
et que abn=a*ban-1*b
donc 0=a*ban-1*b
et en mulltipliant à gauche par b et à droite par a, j'ai b*0*a=ba*ban-1*ba
soit 0=ban+1
alors ba est nilpotent.
C'est la question suivante qui me pose plus de problèmes:
2. Montrer que si 1+ab est nilpotent alors 1+ba l'est également.
La je ne vois vraiment pas comment faire. J'ai juste réussi à montrer que alors ba est inversible mais je ne sais même pas si ma
démonstration est bonne et si ce résultat est utile.
Je fais donc appel à votre talent mathématique pour m'aider à résoudre ce problème.
Merci beaucoup. 
Désolé pour les parenthèses, je trouvais ça facilement lisible et c'est pour ça que je ne les ai pas mise. Mais bon, voilà ce que ça donne avec des parenthèses:
1. Montrer que si ab est nilpotent alors ba l'est également.
Ca j'ai su faire en montrant que si ab nilpotent alors il existe un entier naturel n non nul tel que abn=0
et que abn=a*(ban-1)*b
donc 0=a*(ban-1)*b
et en multipliant à gauche par b et à droite par a, j'ai (b*0)*a=[b*(a*(ban-1)*b)]*a
soit 0=ban+1 par associativité de la loi multiplicative.
alors ba est nilpotent.
En éspérant que ce soit plus lisible. 
ab est nilpotent signifie (ab)n = 0
toutes tes () sont mal placées
quand tu écriras proprement je t'aiderai ....
Zut, je ne vois pas où est la faute.
C'est le fait que n-1 puisse valoir 0 qui pose problème parce que je me disais que ba0=1 (formul qu'on a vu en cours)?
Sinon pour la formule abn= a*(abn-1)*b, je suis convaincu qu'elle est bonne puisque abn=ab*ab*ab*...*ab (n fois) soit a*ba*ba*ba*..*ba*b avec n-1 fois ba car la loi est associative.
après (b*0)*a=0 (autre formule du cours)
et [b*(a*(ban-1)*b)]*a=ba*ban-1*ba (toujous d'après l'associativité)
et donc vaut ba1+(n-1)+1=ban+1
Non, je ne vois vraiment pas où est ma faute, pourrais tu m'aiguiller un peu plus s'il te plaît?
Ok merci
Sinon, pour la deuxième question, il y avait une erreur dans l'énoncé. Il fallait montrer que si 1+ab est inversible alors 1+ba l'est également, ce qui est beaucoup plus simple.
Mais du coup, est ce que c'est quand même vrai que lorsque 1+ab est nilpotent alors 1+ba es nilpotent?
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