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Éléments propres - Automorphisme orthogonal
Bonjour,
J'ai un exercice du cours sur les endomorphismes d'espaces euclidiens qui me pose problèmes... Je vous remercie d'avance pour l'aide apportée!
Soient E un espace euclidien, u un vecteur unitaire de E, 
un réel. On pose pour x
E: f(x)=x+(x|u)u.
a) Déterminer les éléments propres de f.
b) En déduire une CNS pour que f soit un automorphisme orthogonal de E. Déterminer alors la nature de f.
a) J'ai d'abord remarqué que si xvect(u)
alors on a f(x)=x donc 1 est valeur propre de f et donc ker(f-Id)=vect(u)
De plus on remarque que comme u est unitaire f(u)=u+(u|u)u=(1+)u donc u est un vecteur propre de f si u est non nul. Par contre pour ce cas là je ne vois pas comment déterminer le sous espace propre associé...
Ensuite j'ai trouvé d'autre valeurs propre sans succès:
Soient 
, xE
f(x)=x 
x+(x|u)u=x x(1-)+(x|u)u=0 et là je ne sais pas comment continuer...
b)1er cas: 
0
Soit xE, fO(E) (f(x)|f(x))=(x|x) (x+(x|u)u|x+(x|u)u)=(x|x) ||x+(x|u)u|²=||x||² ||x||²+2(u|x)(u|x)+²(u|x)²||u||²=||x||² (2+²||u||²)(u|x)²=0 vrai pour tout x de E donc en particulier pour x=u
(2+||u||²)=0 =-2/||u||² car 0
Donc 
xE, f(x)=x-2/||u||²(u|x)u. C'est donc une symétrie orthogonal par rapport à un hyperplan (de la forme f(x)=Id-2p(x) )
2ème cas: =0
Soit xE, fO(E) (f(x)|f(x))=(x|x) (x|x)=(x|x) Donc là c'est toujours vrai... Mais la nature de f comment la déterminer... je suis bloqué ici aussi...
b)En fait si =0 alors f=Id! mais est ce que c'est ce qui était attendue dans cette question car d'après la question on devrait en déduire d'après la question précédente la réponse... mais vu que je n'ai pas terminé de répondre à la a) je ne peux pas encore me prononcer sur ma première réponse!
Merci d'avance!
Tout d'abord bonjour et merci pour cette réponse.
Mais je ne vois pas pourquoi on aurait ça... car si xvect(u) alors x colinéaire à u donc on a x=ku donc f(x)=x+(x|u)u=x+|k|||u||²u=x+|k|u donc kf(u)=u(k+|k|) ...
Et ici dans ce cas là aussi comment trouve t-on le sous espace propre associé...
Et comment conclu t-on qu'il n'y a pas d'autres valeurs propres?
Merci encore.
Ma réponse à la question b) tient-elle alors en vu de la question a) ou attendent-ils une autre réponse?
oui j'avais pris le problème à l'envers
Don 1+ est d'ordre de multiplicité 2 et 1 d'ordre de multiplicité 1. Maintenant pour les sous espaces propres associés à 1+ on décrit vect u et vect u orthogonal mais comment les définir?
Comment peut on conclure que ce sont les seules valeurs propres maintenant?
Bonjour, Aerobi
On se place dans une base orthonormale dont le premier vecteur est u et les suivants forment une base orthonormale de l'orthogonal de Vect(u).
La matrice de f dans cette base est facile à écrire. On en déduit les valeurs propres et les vecteurs propres de f. Attention, 1+ est d'ordre de multiplicité 1 et 1 est d'ordre de multiplicité n-1, où n est la dimension de l'espace E (cet ordre de multiplicité vaut 2 si la dimension n de l'espace est égale à 3).
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