Bonjour.

Car il préserve la norme, donc si f(x) est nul, ca signifie que la norme de f(x) est nulle, et donc la norme de x est nulle, c'est-à-dire x = 0.

je pensais qu'il fallait montrer f(x) = f(y) => x = y?

Pour une application linéaire, vérifier l'injectivité revient à montrer que le noyau est réduit au vecteur nul ...

ah oui bien sur ! merci

une dernière question : injectif => inversible?

Pour un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, oui, d'après le théorème du rang.

Autrement, c'est faux, l'injectivité n'implique pas forcément la surjectivité en dimension infinie.

ok merciii! en fait en dim finie bijectif <=> inversible c'est bien ça?

Inversible et bijectif, c'est synonyme, par définition.

Pour un endo en dimension finie, injectif <=> surjectif <=> bijectif !

ok ok merci!

Bonjour

Un endomorphisme injectif et non surjectif:

E= espace vectoriel des polynomes sur IR

f(P) = Q tel que Q est la primitive de P qui s'annule pour X=0 (vérifie que c'est un endomorphisme).

f est injective (la primitive est unique car la constante d'intégration est fixée) mais pas surjective sur E  (tous les polynomes ne sont pas atteints, par exemple ceux de degré 0).

C'est dû au fait que la dimension de E est infinie.

bonjour
je ne vois pas pourquoi les polynômes constants ne sont pas atteints??

Parce que les images sont des primitives s'annulant pour x=0

le polynome P(X) = 3 par exemple ne peut pas être atteint. De même que X+3, X²+3  etc...

mais pourtant l'image réciproque de 3x est bien 3 (la dérivée de 3x) donc p(x) = 3 est bien atteint?

Oui, mais l'image reciproque  (l'antécédent) de 3 n'existe pas. Celui de 3x+3 non plus, puisque les images s'annulent en 0.

d'accord j'ai compris ton raisonnement merci!

pour montrer que f est un endomorphisme :
la condition que la primitive s'annule en 0 me gène un peut pour montrer que f(P+Q) = f(P) + f(Q)

Ben non, si la primitive de P+Q s'annule en 0, celle de P + celle de Q (il y a une éventuelle constante) s'annule aussi en 0. Non?

en fait je pars de :
f(P+Q) = prim. de (P+Q) tq (P+Q)(0) = 0
       = prim. de P + primitive de Q tq (P+Q)(0) = 0
                                     ie P(0)+Q(0) = 0
                                     ie P(0)=-Q(0)
donc je n'arrive pas à conclure ... que P(0) = 0 = Q(0)

en fait il faut tout simplement partir de l'autre côté!
merci