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endomorphisme
Bonsoir , j'ai un bon exercice avec 3 questions dessus et j'aimerais votre avis ( et aide si possible ) quand j'en ai besoin , voici l'énoncé :
Soit E l'espace vectoriel réel des polynomes à coefficients réels de degré au plus 2 et C = {1,X,X²} la base canonique de E . On considère l'endomorphisme f de E défini par :
f(1) = 2X + 3X²
f(X) = 2 - 5X - 8X²
f(X²) = -1 + 4X + 6X²
et id l'application identique de E .
1) Ecrire la matrice A de l'application f relativement à la base C et calculer la matrice M de l'application f² = fof relativement à la base C .
Comme matrice je trouve :
0 2 -1
2 -5 4
3 -8 6
pour fof je trouve :
1 -2 8
2 -3 2
2 -2 1
etes vous d'accord avec moi?
merci
oups petite erreur d'écriture , on est d'accord 
, juste une petite question avant d'attaquer la seconde question , quand ils disent :
"id l'application identique de E" , ça veut dire une seconde application linéaire pareille que f ?
Comme je te l'ai dit, on ne note pas Id l'identité pour les matrices mais In 
Pour comprendre la réponse de Kevin :
Id(1)=1+0X+0X²
Id(X)=0+1X+0X²
Id(X²)=0+0X+1X²
D'où la matrice de Id dans la base canonique
très bien c'est plus clair , donc seconde question :
calculer les rangs des applications f² + id , f² - id et donner des bases B1 et B2 de chacun de ces sous espaces vectoriels W1 = ker(f² + id) et W2 = ker(f² - id) .
Montrer que E = W1 + W2 ( somme directe ) et que B1 U B2 est une base de E .
Voici mes réponses :
f² + id , je trouve un rang de 3 vu que les 3 colonnes sont linéairement indépendantes .
f² - id , je trouve un rang de 3 , meme justification .
Pour les bases , ben je pense que pour W1 , ces vecteurs forment une base :
(0,2,2) , (-2,-2,-2) , (2,2,-1) .
Pour W2 :
(-2,2,2) , (-2,-4,-2) , (2,2,-2) .
Pour la somme directe avez vous une méthode j'ai jamais su prouver une seule fois de ma vie une somme directe 
.
ben zut alors j'ai encore mal recopier !!!
donc pour f² + id c'est a = b-c , avec b = c , donc on a une infinité de solutions , quel rang alors ? lol
pour f² - id , pareil , a = b = c , on a une infinité de solutions .
pour les bases donc les 3 vecteurs des 2 matrices peuvent faire l'affaire .
t'es d'acc là?
Je ne sais pas à quoi correspondent tes a, b et c. Moi j'ai regardé le rang de la matrice on y voit plus clair
avec tes matrices , j'ai résolu ces systemes :
2a-2b+2c=0
et
-2b+2c = 0
2a-4b+2c = 0
2a-2b = 0
c'est comme ça qu'on voit le rang d'une matrice non ?
et je trouve des infinités de solutions...
Je ne comprends pas, là j'ai l'impression que tu veux calculer le noyau, peut-être que Jord y verra plus clair que moi
Je dirais simplement que puisque les trois vecteurs colonne de la matrice sont colinéaires le rang est 1.
A confirmer.
Donc les rangs des 2 applications sont 1 .
j'utilise ce qu'ils disent ici :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Rang_(math%C3%A9matiques) .
Pour les bases de W1 et W2 , les 3 vecteurs des 2 matrices font l'affaire ?
Pour W2 je trouve comme base :
(0,2,2) + (-2,-4,-2)
Pour W1 :
le vecteur (2,2,2) est une base .
là je crois que j'ai juste
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