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Endomorphisme
Bonjour a tous...
J'ai un petit problème d'algèbre à résoudre... Voici l'énoncé:
Soit E l'ensemble des fonctions de 
dans de classe C
, c'est à dire indéfiniment dérivable avec chaque dérivée continue, vérifiant : f(x+2
) = f(x).
On définit 
f 
E, u(f)=f''.
a) Montrer que E est un -espace vectoriel.
b) Montrer que u définit un endomorphisme de E.
c) Determiner le noyau de u.
d) Montrer que Im(u)
{fE/
de 0 à 2 f=0}.
En ce qui concerne la question a) j'ai répondu:
Comme est un espace vectoriel. Montrons que E (étant inclus dans ) est un sous espace vectoriel de .
E
car par exemple les fonctions cosinus et sinus sont dérivable a l'infini.
(
,
)²
J'ai démontrer que (f+g)(x+2)=(f+g)(x).
Donc j'en conclu que E est une sous espace vectoriel de et don c'est un -espace vectoriel.
Je suis pas sur à 100 pour 100 de ma réponse mais bon... c'est plutôt pour la suite que je bloque!
b) je sais que u définit un endomorphisme de E si c'est une application linéaire de E dans E.
Je suis partis pour démontrer que:
(,)E²
(f,g)E²
u(f+g)(x+2) doit être égale à u(f(x))+u(g(x)).
Mais j'suis pas du tout sur que se soit ça!
Enfin voila... si l'un d'entre vous pourrais m'aider à résoudre ce problème ce serait sympa car jsuis pomé
Merci d'avance.
Non! d'après ton énoncé, u(f) = f '', la dérivée seconde, quoi.
Donc a démontrer est: (af+bg)" = af" + b g"
Cool...Merci pour ta réponse mais je vois toujours pas comment je peux démontrer ça!
Est-ce que je dois utilisé f(x+2)=f(x) ???
(Sinon étant donné que tu n'as rien dit au sujet de ma réponse à la question a) j'en déduis que c'est pas trop mauvais!!)
Oui, le a) est bon
pour le reste, arrête d'angoisser avec tes périodes: vu que tes fonctions sont périodiques, toutes les dérivées le sont. Alors tu ranges tes + 2 dans un tiroir et tu les ressort plus!
u(af+bg) = (af+bg)" = af"+bg" (c'est un théorème de dérivation que tu as utilisé 100 fois: la dérivée de 2f est 2 f' et en dérivant encore , tu obtiens 2f". Pareil pour la dérivée de f+g qui est f' + g', etc...)
Il n'y a donc rien a démontrer ici.
D'accord, merci beaucoup.
J'ai tendance à me compliqué un peu la vie... Je vais plancher sur les questions suivantes maintenant!!! En espérant ne plus avoir besoin de ton aide!
Me revoila...
Pour la question c) on a:
ker f = {fE/u(f)=OE}.
Donc je dois chercher toute les fonctions qui s'annulent lorsqu'on les dérives deux fois!
C'est à dire les fonctions qui vérifie f'' égale 0.
Est-ce qu'on peut déduire qu'il s'agit uniquement de la fonction nulle? c'est à dire f(x)=0.
Non, si f" = 0, c'est que f' est constante donc f'(x) = a donc f(x) = ax+b
Or f est élément de E, donc elle est périodique, donc forcément a = 0, et donc f(x) = b
Donc le noyau est composé des fonctions constantes.
OK ?
Ouais je vois... c'est ce que j'ai fini par répondre!!! Merci pour ta réponse Jeanseb!
Maintenant c'est sur la dernière question du problème que je galère
!
On demande de montré que Im(u) est inclus dans {fE/0 à 2 f=0}
On sait que:
Im(u)={gE'/
f tel que u(f)=g}
Pourrais-tu me donnée une piste pour résoudre cette dernière question...??
Bonsoir
Im u est formée des fonctions f qui sont des dérivées secondes de fonctions périodiques de période 2.
On te demande de démontrer que ces fonctions f ont une intégrale nulle entre 0 et 2.
C'est simple:
Soit f une telle fonction, f étant une dérivée seconde, il existe g dans E telle que g'' = f
En particulier, (g')' = f c'est à dire que g' est une primitive de f. OK?
alors:
OK?
Ok! J'y vois plus clair.
Ca parait très simple pour toi, c'est cool! moi j'ai un peu plus de mal! En tout cas merci beaucoup pour ton aide.
A bientot.
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