Bonjour,
premièrement le résultat que tu cites est vrai seulement si les dimensions sont finies.
Ensuite ce que tu dis est faux, le fait que deux espaces soient isomorphes ne signifie pas que toute application linéaire est un isomorphisme, mais qu'il existe au moins une qui le soit.

En revanche si tu imposes que Im(f)=F alors le résultat devient vrai.

Bonjour.

Le théorème : E et F isomorphes dim(E) = dim(F) est exact.

Cela signifie que l'on peut construire un isomorphisme de E sur F, mais cela ne veut pas dire que toute application linéaire de E dans F sera un isomorphisme.

Exemple approchant : les bijections d'ensembles finis.

E = {1,2,3} et F = {a,b,c} sont équipotents : on peut les mettre en bijection.

Mais f : E ---> F telle que f(1) = f(2) = f(3) = a n'est pas bijective.

Bonjour,

Non.
Le fait que dim(E)=dim(E) te garantit que E et E sont isomorphes, càd qu'il existe un isomorphisme de E sur E (l'identité par exemple ). Mais ça ne veut pas dire que n'importe quel endomorphisme de E est forcément un iso.

Exemple bête : la fonction f : R->R tq f(x)=0 est un endomorphisme de R, et certainement pas un isomorphisme. Bien sûr, R est quand même isomorphe à R, par g(x)=x, ou h(x)=2x etc...


Pareil si tu as dim(E)=dim(F) : ça ne veut pas dire que toute application de E vers F est un iso. Seulement qu'il existe un iso de E sur F.

d'accord
merci pour toutes vos réponses
En fait je croyais que si 2 espaces E et F étaient isomorphes alors toute application linéaire de E dans F était un isomorphisme. Mais grâce à vos réponses je viens de réaliser que deux espaces E et F sont isomorphes si au moins une application linéaire de E dans F est un isomorphisme.