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Endomorphisme

Posté par
moula 01-11-09 à 19:22

Bonsoir!

Je bloque actuellement sur un exercice qui fait entrer en jeu une application linéaire. J'ai du montrer que celle ci était un endomorphisme jusque là ca va à peu près bien..

Il s'agit d'une application de M3(R) dans M3(R) qui à une matrice M associe M-Tr(M)A, avec M une matrice quelqoncque et Tr(M) une application linéaire sur laquelle j'ai du un peu travailler en début d'exercice..

On me demande de calculer ^2 pour en déduire ^n et c'est là que je bloque.. J'ai essayé de partir de ((M)) mais je ne trouve rien de convaincant..

Ce serait gentil de m'éclairer, merci et bonne soirée

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 01-11-09 à 20:30

Bonjour,

Qu'as-tu trouvé pour 3$ \varphi\circ\varphi(M) ?
Ensuite, si tu calcules 3$ \varphi\circ\varphi\circ\varphi(M), que trouves-tu ? La tete de 3$ \varphi\circ\cdots\circ\varphi se laisse assez bien deviner non ?

Posté par
moulare : Endomorphisme 01-11-09 à 22:59

Ben justement je trouve pour ((M)) = M-2Tr(M)A+ Tr(Tr(M)A)A... Farfelu nan?! Et si je part de ce résultat je ne préfères meme pas tenté ^3..

Mais après je me demande si on ne peut pas simplifier avec Tr(M) qui à une matrice d'ordre 3 (a,b,c...i) associe a+e+i (qui est la somme des coefficients de la diagonale)

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 01-11-09 à 23:11

Oui on peut simplifier les calculs en utilisant le fait que l'application trace est une forme linéaire.

Posté par
moulare : Endomorphisme 02-11-09 à 22:11

Oui là par contre je ne vois pas trop..

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 02-11-09 à 22:17

Je te montre le début :
Comme Tr est une forme linéaire:
- Tr(A)=Tr(A) pour tout réel et
- Tr(M) est un réel pour toute matrice M.

Donc Tr(Tr(M)A)=Tr(A)Tr(M) et ((M))=M-(2+Tr(A))Tr(M)A , n'est ce pas ?

Posté par
moulare : Endomorphisme 02-11-09 à 22:47

Ah ui mais je n'avais pas vu ke Tr(M) était un réel pour tout matrice M en fait..

D'accord ben à partir de cela je vais essayer de trouver quelque chose, merci bien!

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 02-11-09 à 22:51

Pas de probleme !
Pour en déduire l'expression de 3$ \varphi^n(M)=\varphi\circ\cdots\circ\varphi(M) je te conseille de tester pour n=3 et meme n=4 si jamais tu ne vois vraiment pas le truc.

Posté par
moulare : Endomorphisme 02-11-09 à 23:11

Bon dsl mais je pense que je vais laisser tomber j'ai tester pour n=3 et vraiment je ne vois pas où ça mène!! Merci quand meme!

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 02-11-09 à 23:16

Allons, il ne faut pas baisser les bras !
Tu as trouvé quoi pour n=3 ?

Posté par
moulare : Endomorphisme 02-11-09 à 23:34

Bon allons-y pour n=3 j'ai trouvé M-3Tr(M)A+ Tr(A)Tr(M)A+Tr(2-Tr(A)Tr(M)A)A, et le problème c'est que j'ai vraiment du mal à simplifier j'ai peur de faire des erreurs et meme quand j'essaye je ne vois pas le bout!

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 02-11-09 à 23:43

Pas de soucis, on va en venir à bout !
Tu n'as pas oublier de parenthèses dans ton calcul ?

Posté par
moulare : Endomorphisme 02-11-09 à 23:50

Ah mince ça doit etre la fatigue j'ai juste oublié les parenthèses au niveau du 2-Tr(A) cela donne:
M-3Tr(M)A+Tr(A)Tr(M)A+Tr((2-Tr(A)Tr(M)A)A

Voilà!!

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 02-11-09 à 23:53

Ok parfait !
Alors, encore une fois, comme Tr est une forme linéaire, il vient :
Tr([2-Tr(A)]Tr(M)A)A=[2-Tr(A)]Tr(Tr(M)A)A=[2-Tr(A)]Tr(M)Tr(A)A.
Oui ?

Posté par
moulare : Endomorphisme 03-11-09 à 00:02

Olala pourquoi ça parait simple mtn?! Chui d'accord jusque là

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 03-11-09 à 00:05

Normalement, apres simplification tu dois te retrouver avec
\varphi^3(M)=M-[3-3Tr(A)+Tr(A)^2]Tr(M)A.

Tu retrouves bien ca ?

Posté par
moulare : Endomorphisme 03-11-09 à 00:07

Uiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!!!!

Enfin je trouve qqch de juste!

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 03-11-09 à 00:08

Alors est-ce que cela te suggere quelque chose ?
Que remarques-tu pour le cas n=1,n=2,n=3 ? Trouves-tu une sorte de regle d'écriture ? ( Qu'est ce qui varie, comment? , qu'est ce qui est fixe à chaque itération de n  ?)

Posté par
moulare : Endomorphisme 03-11-09 à 00:15

Bon ça veut dire que je dois trouver un lien entre 1; (2-Tr(A)) et (3-3Tr(A)+Tr(A)^2)
Sa m'aurais arrangé de trouver (4-4Tr(A)+Tr(A)^2.. parce que là  ahhh ou n-nTr(A)+Tr(A)^n-1!!!

Posté par
moulare : Endomorphisme 03-11-09 à 00:17

Sa m'a l'air d'etre sa on a^n= M- ((n-nTr(A)+Tr(A)^n-1)Tr(M)A?

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 03-11-09 à 00:19

Non, c'est un peu plus fin que ca.
Je te mets sur la piste :
Que vaut 1+2a+a^2 ? Que vaut 1+3a+3a^2+a^3 ?

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 03-11-09 à 00:21

Ou a est un réel, j'ai oublié excuse moi.

Posté par
moulare : Endomorphisme 03-11-09 à 00:22

Sa vaut (a+1)^2 et (a+1)^3  mais je ne vois pas trop parce qu'il manque des éléments à chaque fois!

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 03-11-09 à 00:23

Oui, exact. De quels éléments s'agit-il ?

Posté par
moulare : Endomorphisme 03-11-09 à 00:26

Je suis d'accord que y'a des éléments ressemblant j'y ai pensé également mais à partir de ça meme en remplaçant a par Tr(A) je ne vois pas comment on pourrait arriver aux résultats trouvés pour^2 et ^3...

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 03-11-09 à 00:30

Alors poussons un peu plus loin l'idée :
Si a est non nul:
2+a=(2a+a^2)/a=[(1+2a+a^2)-1]/a=[(1+a)^2-1]/a
3+3a+a^2=(3a+3a^2+a^3)/a=[(1+a)^3-1]/a

Tu vois le truc maintenant ?

Posté par
moulare : Endomorphisme 03-11-09 à 00:34

Ui je vois mais le probème c'est qu'à la base on a 2-a et 3-3a+a^2..

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 03-11-09 à 00:37

Alors il faut introduire un signe '-' .
Une idée ?

Posté par
moulare : Endomorphisme 03-11-09 à 00:40

Pas trop

Posté par
moulare : Endomorphisme 03-11-09 à 00:43

Mais j'ai l'impression que ce que tu me proposes ne marche pas pour n=1! Nan?

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 03-11-09 à 00:44

J'ai encore rien proposé ! J'essaie de te mener à la récurrence.

Développe (1-a)^2 et (1-a)^3 ..

Posté par
moulare : Endomorphisme 03-11-09 à 00:47

Sa donne: 1-2a+a^2 et 1-3a+3a^2-a^3!
Récurrence.. :S olala

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 03-11-09 à 00:50

Maintenant, déduis-en une écriture de 2-a, 3-3a+a^2 avec a non nul ?

Posté par
moulare : Endomorphisme 03-11-09 à 00:56

Ok c'était évident par rapport à ce que tu m'avais dit taleur ça donne ((1-a)^n)-1/-a

Posté par
moulare : Endomorphisme 03-11-09 à 00:57

Et là ça marche pour n=1! Je dois faire une récurrence quand meme?

Posté par
moulare : Endomorphisme 03-11-09 à 01:06

Par contre Narhm je te dis à demain pour la suite parce que là vraiment mon lit m'appelle! Allez bonne nuit merci encore

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 03-11-09 à 01:06

Oui bien sur !
On a trop bataillé pour balancer un résultat comme ca non ?

Il reste donc à prouver que : Si tr(A) est non nul
3$ \varphi^n(M)=M+\fr{(1-Tr(A))^n-1}{Tr(A)}Tr(M)A=M+t_nTr(M)A  avec 3$ t_n=\fr{(1-Tr(A))^n-1}{Tr(A)} ( le fait de poser tn alege un peu les calculs c'est tout )

Apres si tr(A)=0, c'est très simple

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 03-11-09 à 01:06

De rien,

Bonne nuit.

Posté par
moulare : Endomorphisme 03-11-09 à 13:28

Merci beaucoup Narhm pour ta patience! Bonne journée

Posté par
Narhmre : Endomorphisme 03-11-09 à 14:02

De rien : )


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