Bonsoir.

Que signifie : ta(x) ?

1°) Montre que g = u(f) est également continue sur [0,1]

Ensuite, montre que u(a.f + b.g) = a.u(f) + b.u(g)

ta(x)=t*a(x)

je trouve a(F(1) - (de0à1)F(t)dt )      avec F(t) primitive de f
et cela est continue sur [0.1] non ?

une idée pour la 2) ?

D'après ton énoncé, on aura :



Or, est une constante K(f) dépendant de f, donc :

x [0,1] u(f)(x) = K(f).a(x) et finalement :

u(f) = K(f).a, avec K(f) =

Comme a est dans E, K(f).a sera aussi dans E, ce qui prouve que u : E E.

Maintenant, les propriétés de l'intégrale :



montrent que K(.f + .g) = .K(f) + .K(g)

Cela entraine :

u(.f + .g) = K(.f + .g).a = .K(f).a + .K(g).a = .u(f) + .u(g)

Conclusion : u L(E).

D'autre part, u(f) = K(f).a signifie que pour toute f dans E, u(f) est colinéaire à a.

Comme a est non nulle, u(f) appartient à la droite vectorielle de E engendrée par a : IR.a, donc Im(u) IR.a

Enfin, comme Im(f) est un sous-espace vectoriel de E, Im(f) = IR.a

merci beaucoup

Bonne soirée.