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endomorphisme adjoint
Bonjour,
Voici la chose que je ne comprends pas et dont je demande votre aide :
Nous sommes dans un espace euclidien E. Soit u un endom. de E
Matriciellement dans une base quelconque de E,
en posant A = (<>), si U est la matrice de u dans la base (
),
alors la matrice V de u* est donnée par V = A^(-1) U* A. (*)
Je sais que V = U* dans une base orthonormée de E mais je ne comprends pas l'égalité (*) dans une base quelconque.
Bonjour.
Par définition :
( u(x) | y ) = ( x | u*(y) )
Cela se traduit matriciellement par :
t(U.X).A.Y = tX.A.U*.Y
tX.tU.A.Y = tX.U*.Y
Ceci étant vrai pour tout (X,Y) :
tU.A = A.U*
Mais A étant inversible, ...
Euclidien signifie que dans une certaine base (une base orthonormée par rapport a la forme quadratique induite par A), A "s'écrit" id (c'est-à-dire P^-1*A*P=id).
Parler d'espace euclidien signifie que la forme bilinéaire correspondante est, en particulier, "définie positive".
Donc, l'endomorphisme symétrique associé est un automorphisme : sa matrice est inversible.
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