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endomorphisme de R2[X]
re-bonjour
jvoudrai savoir si c'est bon:
on a f(p)=(X2-1)P''+2XP' avec P
R2[X] pour montrer que c un endomorphisme il faut dire quelque soit PR2[X] f(P)R2[X]
bon ensuite jtrouve M la matrice de f
(0 0 2)
(0 2 0) le noyau est nul et l'image Im(f)=R2[X]
(0 0 6)
Bonsoir,
il faudrait peut être montrer que f est linéaire non?
Pour la matrice :
f(X²)=(X²-1)*2 + 2X*2X ie f(X²)=4X²-2
Donc tu t'es trompé dans ta dernière colonne.
Bonjour.
Effectivement, tu dois prouver que f(P) appartient à R2[X], mais également que f est linéaire :
f(a.P + b.Q) = a.f(P) + b.f(Q)
Je trouve :
Pour le noyau : il contient déjà tous les polynômes constants
mais parcontre pour le noyau on doit resoudre:
f(P)=0 ie (X2-1)P''+2XP'=0 mais apres on doit fr koi svp ??
on doit decomposer P en un polynome de degre nul ensuite de deg 1 et 2
comsa trouve kil n'y a ke le degré nul ki marche
S'il te plait, évite les SMS : " comsa trouve kil n'y a ke le degré nul ki marche" est interdit sur le site.
Pour le noyau, en appelant A la matrice de f et X le vecteur colonne des coordonnées de P(X) = a + bX + cX², résous l'équation : A.X = 0
On sait que f(1), f(X), f(X²) est une famille génératrice de Im(f). Comme f(1) = 0E et que f(X) et f(X²) sont indépendants, tu auras :
Im(f) = Vec( (0,2,0) ; (-2,0,6) ).
Les éléments de Im(f) sont donc du type a.(0,2,0) + b.(-2,0,6) = (-2b,2a,6b).
Cela se traduit en polynômes par :
P € Im(f) <=> P(X) = -2b + 2a.X + 6b.X².
Les éléments de R2[X] s'appellent des polynômes.
Ils s'écrivent P(X) = a + bX + cX² = a.1 + b.X + c.X²
Donc, dans la base canonique (1,X,X²) de R2[X], P(X) = a + bX + cX² a pour coordonnées (a,b,c).
Ainsi,
le polynôme Q(X) = 3X² - 1 a pour coordonnées (-1,0,3)
le polynôme R(X) = 2X + 1 a pour coordonnées (1,2,0)
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