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endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,....

Posté par
shelzy01 14-07-08 à 20:09

Bonjour à tous !!

Voilà, j'ai fait 3 exercices mais je n'ai pas la correction, est-ce que vous pouvez me corriger, je vous en remercie d'avance

Exercice 1:

Soit (Un)nN la suite de réels définie par:

u0 = 1   u1 = 2
n N*,
u2n+1 = u2n + u2n-1
u2n = u2n-1 + 2u2n-2

Notons, n N , Un = \(u_{2n}\\u_{2n+1}\)


(1). Notons \begin A=\begin{pmatrix}2 &1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}
M2(R), montrer que: n N, Un+1 = A * Un .
(2). En déduire que: n N, Un = An * U0.
(3). Montrer que la matrice A est diagonalisable dans M2(R), et la diagonaliser.
(4). Calculer la matrice An en fonction de n.
(5). En déduire, pour tout n dans N, un en fonction de n.
(6). La suite (Un)nN est-elle convergente ou divergente ? Justifier.


Exercice 2:

Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n > 0, et u un endomorphisme de E. On considère les polynômes P(X) = 1 - X3 et Q(X) = X² - 2X + 1.
(1). Décomposer P et Q en produit de facteurs irréductibles dans R[X].
(2). Que peut-on dire d'un endomorphisme u de E annulé par les polynômes P et Q ?


Exercice 3:

Soit le polynôme P(X) = X4 - 5X3 + 9X² - 15X + 18 [X].
(1). Déterminer toutes les racines de P dans sachant que deux d'entre elles ont 6 pour produit. (aide: on pourra utiliser les fonctions symétriques élémentaires des racines).
(2). En déduire une décomposition de P en produit de facteurs irréductibles dans [X].

Exercice 1:
(1). Un+1 = A * Un

\(U_{2n+1}\\U_{2n+3}\) = A * \(U_{2n}\\U_{2n+1}\) = \begin\begin{pmatrix}0 &1 \\ ? & ? \end{pmatrix} \(U_{2n}\\U_{2n+1}\)

Je ne vois pas du tout comment trouver la deuxième ligne de la matrice A, pouvez vous m'aider

En attente de votre réponse...........merci

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 14-07-08 à 20:13

Bonjour.

Tu n'as pas à déterminer A, elle t'es déjà donnée.
Il te reste juste à vérifier l'égalité donnée.

Calcule A\times U_n, et compare à U_{n+1}

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 14-07-08 à 20:26

Bonjour Arkhnor
Ah oui, j'ai fait les calculs et je trouve bien Un+1 = A * Un
(merci)

(2). Preuve par récurrence:

On sait que:  Un+1 = A * Un

=> Un+1 = A (An) * U0 = An+1 * U0

=> Un = An * U0 est vrai au rang n+1 et donc vrai au rang n

Est-ce correcte ?

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 14-07-08 à 20:33

Tout à fait !

Petite correction pour la rédaction :

Citation :
est vrai au rang n+1 et donc vrai au rang n

Personnelement, j'aurais dis "est vraie au rang n+1, et est donc vraie quelque soit n".

Mais l'essentiel est là

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 15-07-08 à 20:13

(3).
calculons le déterminant:
det(A - Xid) = \begin\begin{pmatrix}2-X &1 \\ 2 & 2-X \end{pmatrix} = (2 - X)² - 2 = X² - 4X + 2 = (X - (2-2))*(X - (2+2))

=> Le polynôme caractéristique de A est PA(X) = (X - (2-2))*(X - (2+2))

Les valeurs propres sont donc: (2-2) et (2+2)
E(2-2):
(A - (2-2)Id) \(x\\y\)
on obtiens ce système:
2 x + y = 0
2x + 2 y = 0
=> v1 = \(1\\-\sqrt{2} \)


E(2+2):
(A - (2+2)Id) \(x\\y\)
on obtiens ce système:
-2 x + y = 0
2x - 2 y = 0
=> v1 = \(1\\\sqrt{2} \)


P=\begin{pmatrix}1&1\\-\sqrt{2}&\sqrt{2}\end{pmatrix}

D=\begin{pmatrix}2-sqrt{2}&0\\0&\2+sqrt{2}\end{pmatrix}

P-1=\begin{pmatrix}sqrt{2}&-1\\sqrt{2}&\1\end{pmatrix}

est-ce correcte ? En attente de votre réponse......merci

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 15-07-08 à 20:14

pour le deuxième système c'est v2 (erreur de frappe)

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 15-07-08 à 20:21

C'est juste !

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 16-07-08 à 19:33

(4). D'après le théorème de Cayley-Hamilton, P(A)=0.

=> A² - 4A + 2 = 0

An = (A² - 4A + 2) * Q(A) + R(A)

Donc An = R(A)

avec R(X) = aX + b car deg(R(X))1

on pose: = 2-2 et = 2+2



n = (2-2)n = R(2-2) = a(2-2) + b
n = (2+2)n = R(2+2) = a(2+2) + b


L1: 2a-a2 + b = (2-2)n
L2: 2a+a2 + b = (2+2)n

L2 - L1 =>   2a2 = (2+2)n - (2-2)n

=> a = [(2+2)n - (2-2)n] / 22

En remplaçant dans L1 on obtiens:

b = (2-2)n - a(2-2)

=> b = (2-2)n - [(2+2)n - (2-2)n] / 22 * (2-2)

An = (A² -4A + 2) Q(A) + R(A)

comme An = R(A) = aA + b


\begin{pmatrix}2a &a \\2a & 2a\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b &0 \\0 & b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2a+b &a \\2a & 2a+b\end{pmatrix}

En remplaçant a et b dans la matrice on obtiens bien An en fonction de n.

Est-ce correcte ? merci d'avance pour votre correction

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 16-07-08 à 20:37

La démarche me parait correcte, et le résultat final est le bon.

Un petit détail :
Tu dis 3$ A^n = aA+b, mais c'est 3$ A^n = aA+bI_2, car b est un scalaire, et non une  matrice.

Sinon, personnellement, j'aurais utilisé le fait que 3$ A = P.D.P^{-1}, et donc que 3$ A^n = P.D^n.P^{-1}, avec 3$ D^n facilement calculable (matrice diagonale)

Les deux méthodes sont valables.

Bon courage pour la suite.

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 16-07-08 à 23:18

Citation :
Sinon, personnellement, j'aurais utilisé le fait que A = P.D.P-1, et donc que An = P.Dn.P-1, avec Dn facilement calculable (matrice diagonale)
Ah oui, en plus c'est beaucoup moins long
D'accord, merci pour ton aide

(5).
Un = An*Uo

= An * 1$\textrm \(U_0\\U_1\)

= An * 1$\textrm \(1\\2\)

= \begin{pmatrix}2a+b&a\\2a&2a+b\end{pmatrix} * 1$\textrm \(1\\2\)

= \begin{pmatrix}2a+b&+&2a \\2a&+&4a&+&2b&\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}4a+b\\6a+&2b\end{pmatrix}

On a donc Un en fonction de n (en remplaçant a et b).

6.
On cherche la limite quand n -> +00 , d'aprés a et b, on sent que Un -> +00 => il y a divergence, mais je ne sais pas trop comment le justifier, pourrais-tu m'aider

En attente de ta réponse.........merci

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 17-07-08 à 10:33

Salut.

Fais bien la distinction entre les u majuscules et minuscules, car il y a une différence dans ton énoncé.
u_n désigne un réel, tandis que U_n désigne le vecteur de \mathbb{R}^2 égal à \(u_{2n} \\ u_{2n+1}\).

On a donc, d'après les résultats précédents, 3$ U_n = \frac{1}{2}\((1-\sqrt{2})(2-sqrt{2})^n+(1+sqrt{2})(2+sqrt{2})^n \\ \hspace{30}(2+sqrt{2})^{n+1} + (2-sqrt{2})^{n+1}\) = \(u_{2n} \\ u_{2n+1}\)

Un petit rappel :

Citation :
Une suite est convergente ssi toutes ses suites extraites convergent vers la même limite.


Si l'on montre que la suite extraite (u_{2n+1})_n diverge, on aura donc montré que la suite (u_n)_n est elle aussi divergente.

As-tu une idée pour le montrer ?

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 17-07-08 à 18:14

Bonjour Arkhnor !

Oui, c'est vrai tu as tout à fait raison, je n'ai pas fait la différence entre Un et un

Petite question:
Tu as trouvé Un en remplaçant a et b dans \(4a+b\\6a+2b\), mais alors on a Un en fonction de n et non un en fonction de n

Désolée je ne vois pas comment on peut avoir un en ayant u2n et u2n+1

Merci d'avance pour ton explication

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 17-07-08 à 18:16

Ah non, excuse moi, je viens de comprendre, je me suis trompée dans l'écriture de l'énoncé, un est bien la suite de réels définie par u2n et u2n+1

Je termine alors

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 17-07-08 à 18:35

Si tu connais u_{2n} et u_{2n+1}, alors tu connais la suite complètement.
Tu connais les termes de rang pair, et les termes de rang impair, autrement dit, tu connais tous les termes de la suite.

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 17-07-08 à 19:20

Citation :
Si tu connais  et , alors tu connais la suite complètement.

Oui, exactement d'accord

Sinon pour la (6).

j'ai pensé à montrer la divergence à l'aide de cauchy, c'est à dire:

(u2n+1)1/n quand n -> +00

[ (2+2)n+1 + (2-2)n+1 ]1/n = (2+2)1+(1/n) + (2-2)1+(1/n) converge vers 4 quand n -> +00

or 4 > 1 => la suite u2n+1 est divergente

De même pour u2n et d'après :

Citation :
Une suite est convergente ssi toutes ses suites extraites convergent vers la même limite.


Alors la suite (un)n est divergente.

est-ce correcte ?
(merci pour ton aide )

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 18-07-08 à 08:47

Ce n'est pas une série !

Tu as affaire a la convergence d'une suite, et non d'une série.
De plus, il y a une erreur dans ton calcul, tu n'as pas le droit de "distribuer la puissance sur l'addition".

On n'a pas en général l'égalité : (A^n+B^n)^{\frac{1}{n}} = (A+B)
Le carré de la somme n'est pas la somme des carrées.
La racine de la somme n'est pas la somme des racines.
etc

Pour la suite u_{2n}, elle est la somme de deux suites géométriques.
Voit-tu lesquelles, et comment conclure ?

De plus, une fois que tu auras conclus que la suite u_{2n} est divergente, inutile de s'attarder sur u_{2n+1}, c'est suffisant pour prouver la divergence de u_n.
Il suffit de prouver qu'une sous-suite extraite diverge, pour montrer que la suite diverge.

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 18-07-08 à 11:42

Bonjour Arkhnor !

Ah oui, excuse moi pour ces erreurs , merci pour tes explications, j'ai tout compris

Citation :

La suite u2n est la somme de deux suites géométriques


Comment le sait-on ? (je ne suis pas certaine de ce que je vais affirmer ci dessous )

une suite est dites géométrique lorsque un = u0*qn et de raison q, si q > 1, la suite est divergente.

on a (1-2)(2-2)n
donc dans notre cas u0 = 1-2 et q = 2-2
si c'est ceci, alors q > 1 => (1-2)(2-2)n diverge.



idem pour (1+2)(2+2)n

=> u2n est divergente et comme la sous suite u2n diverge alors un diverge.

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 18-07-08 à 11:51

Ton raisonnement est correct, sauf que 2-\sqrt{2} < 1, et non l'inverse.

En fait, on voit que u_{2n} est la somme de deux suites géométriques.
L'une de raison 2-\sqrt{2}, et l'autre de raison 2+\sqrt{2}, comme tu l'as dit.

La première converge donc vers 0, tandis que la seconde diverge vers +\infty

Ainsi, la somme des deux diverge elle aussi, et on peut donc conclure.

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 18-07-08 à 12:33

ok, j'ai tout compris, merci pour les détails et ton aide

exercice 2:
(1). Décomposons P et Q en produit de facteurs irréductibles dans R[X]:

P(X) = 1 - X3 à l'aide de la division euclidienne on obtiens:

1 - X3 = (X - 1)* (-X² - X - 1) = (1 - X)*(X² + X + 1)

or X² + X + 1 son discriminant est négatif ( = -3 )

Citation :
Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré un et les polynômes du second degré avec un discriminant négatif


=> P(X) = (1 - X)*(X² + X + 1)

Q(X) = X² - 2X + 1 = (x - 1)²

=> (X - 1)*(X - 1)

(2).
On dit que u est un endomorphisme de E où u est annulé par les polynômes P et Q => P et Q sont candidats pour être le polynôme minimal de l'endomorphisme u. On déduit directement que P est l'unique polynôme minimal de u, car Q est scindé à racine simple => l'endomorphisme u est diagonalisable.

Est-ce juste ? merci d'avance pour ton aide

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 18-07-08 à 15:18

Ok pour la décomposition !

Par contre, je ne suis pas d'accord avec toi lorsque tu dis que P est le polynome minimal de u.

En effet, prenons l'identité. Elle vérifie bien P(Id) = 0 et Q(Id) = 0, or son polynome minimal n'est pas P.

Ce n'est pas parce que u est annulé par P et Q, que le polynome minimal est P ou Q.

Une des caractérisations du polynome minimal est :

Citation :
Le polynôme minimal de u  est l'unique polynôme unitaire annulateur de u  tel que tout polynôme annulateur de u soit un multiple de ce polynôme.


Que peux-tu en déduire sur ce polynome ?

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 18-07-08 à 17:31

Ah oui !! Tu as raison, j'ai un peu confondu en faite on peut dire 2 choses :

si

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 18-07-08 à 17:35

- si P est le polynôme minimal, alors u est trigonalisable, car son polynôme minimal est scindé.
- si Q est le polynôme minimal, alors u est diagonalisable, car son polynôme minimal est scindé à racine simple.

Après je ne vois pas trop quoi dire si on ne sait pas lequel des deux est minimal ou non

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 18-07-08 à 17:42

Le polynome minimal divise P et Q, car le polynome minimal divise tous les polynomes annulateurs.

Il faut donc déterminer les polynomes unitaires qui divisent à la fois P et Q.
Ces polynomes la seront candidats au titre de polynome minimal.

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 18-07-08 à 18:01

Ah d'accord, donc les candidats au titre de polynôme minimal sont 1 et (1 - X)

=> (1 - X) est donc le polynôme minimal, car c'est le seul polynôme unitaire qui divise à la fois P et Q.

=> Or ce polynôme minimal ne possède qu'une valeur propre donc u n'est pas diagonalisable, il est donc trigonalisable.

C'est ça ?

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 18-07-08 à 18:11

Pas tout à fait.

Ton polynome n'est pas unitaire, c'est X-1 le bon polynome.

Ensuite, le polynome est scindé, à racine simple, donc au contraire, u est diagonalisable.
Comme il n'a qu'une valeur propre (1), u est donc l'identité.

Ca découle aussi du fait que X-1 est le polynome minimal de u, on a donc u-Id = 0, et ainsi, u = Id

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 18-07-08 à 19:53

D'accord, j'ai tout assimilée, et compris mes erreurs , merci pour ton aide , et tes super justification .

Demain je ferais l'exercice 3, bonne soirée

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 18-07-08 à 20:04

De rien.

Bonne soirée à toi aussi :

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 19-07-08 à 13:54

Exercice 3:

(J'ai fais la première et la deuxième question en même temps).
On sait que 2 racines ont 6 pour produit => 2 * 3 = 6

P(X) = (X - 2) * (X - 3) * ..........

or (X - 2)*(X - 3) = X² - 5X + 6

Si on fait la division euclidienne on trouve: P(X) = X4 - 5X3 + 9X² - 15X + 18 = (X - 2)(X - 3) * (X² + 3)

X² + 3 a pour discriminant -12 , et (X - 2) et (X - 3) sont des polynômes de degré 1 => les racines de P(X) dans R[X] sont 2, 3.

Ensuite dans C[X] X² + 3 a pour racines -i3 et i3 => X² + 3 = (X + i3) (X - i3)

=> P(X) = (X - 2)(X - 3) * (X + i3) (X - i3)
les racines dans C[X] sont donc: 2,3,i3 et -i3.

Mais à la question 1 on dit d'utiliser les fonctions symétriques élémentaires des racines, c'est à dire:

Citation :
les fonctions symétriques élémentaires des xi sont les expressions :
k[1,n],k (x1, x2, ...., xn) = xi1 ... xik.

Pratiquement:
1 (x1, x2, ...., xn) = x1 + .... + xn
2 (x1, x2, ...., xn) = x1x2 + .... + xn-1xn
k (x1, ....,xn) = x1x2...xk+ ....+ xn-k+1xn-k+2...xn
n (x1, x2, ...., xn) = x1 .... xn


j'ai aussi ce théorème (relations entre coefficients et racines)
Citation :
Soit P = a0+...+anXn = an(X - x1)...(X - xn)
Un polynôme scindé de degrén. On a alors les relations suivantes: k[1,n], k (x1, ....,xn) = (-1)k * (an-k / an).


Mais comment obtenir les racines avec ces formules, je ne sais pas du tout
Peux-tu me donner un exemple utilisant cette formule, ce serait
Je t'en remercie d'avance

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 19-07-08 à 17:03

Citation :
On sait que 2 racines ont 6 pour produit => 2 * 3 = 6

Pourquoi ca ne pourrait pas etre 1 et 6 les racines ? Ou alors, \frac{1}{6} et 36, ou -2 et -3, ou même -i\sqrt{2} et i\sqrt{3}
Ici, coup de chance, 2 et 3 sont bien les racines (on le vérifie en remplacant dans l'équation), du coup la division euclidienne nous donne dessuite la décomposition dans R, et c'est gagné.

Si l'on ne trouve pas les racines du premier coup, on utilise ces fonctions symétriques.

Je traite cet exemple avec les fonction symétriques.
Je pose n=4 et a_n = 1 (c'est bien le cas ici)
Je note \textrm x_1, x_2, x_3, x_4 les quatre racines de P, avec x_1 x_2 = 6

D'après le théorème sur les relations entre coefficients et racines, on a que :

P(X) = X^4 - \sigma_1 X^3 + \sigma_2 X^2 - \sigma_3 X + \sigma_4

(j'ai remplacé \sigma_1(x_1, x_2, x_3, x_4) par \sigma_1 pour alléger les notations.)

On a de plus les relations 2$ \{\sigma_1 = x_1+x_2+x_3+x_4 \\ \sigma_2 = x_1 x_2+x_1 x_3 +x_1 x_4 +x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4 \\ \sigma_3 = x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4 \\ \sigma_4 = x_1 x_2 x_3 x_4

En identifiant les \sigma_i avec les coefficients du polynome, et en utilisant l'information x_1 x_2 = 6, on peut facilement modifier ce système, et en déduire les valeurs des x_i, les racines du polynome.

Je te laisse continuer.

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 19-07-08 à 17:05

A la première ligne, je voulais bien sur dire -2i et 3i

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 20-07-08 à 13:39

Salut !!

1 = x1+x2+x3+x4 = 5                                         L1
2 = x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=9          L2
3 = x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=15            L3
4 = x1x2x3x4 = 18                                             L4   

on remplace x1 = -2i       et    x2 = 3i

-2i + 3i + x3 + x4 = 5 => x3 = 5 - x4 + i
-2ix3 - 2ix4 + 3ix3 + 3ix4 + x3x4 = 9-6 = 3
6x3 + 6x4 - 2ix3x4 + 3ix34 = 15
6x3x4 = 18

on remplace maintenant x3 = 5 - x4 + i dans le système:

x3 = 5 - x4 + i                            L1
-x4² + x4(5+i) = 4 - 5i                 L2
6i - 8ix4 + 14x4² - 3x4 = -15       L3
30x4 - 6x4² + 6ix4 = 18              L4

ensuite en faisant 14*L2 + L3 on obtiens x4 = (41 - 76i) / (67 + 6i) en multipliant par le conjugué on obtiens x4 = (2291 - 5338i) / (4525)

ce qui me semble complètement faux   , est-ce que le début du système est correcte ? Merci pour ton aide

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 20-07-08 à 15:14

Houla :/

Quand je parlais de -2i et 3i, c'était juste un contre-exemple, au même titre que -2 et -3.

La seule chose que tu as le droit de remplacer dans le système, c'est x_1 x_2 par 6. (c'est la seule information dont tu disposes)

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 20-07-08 à 16:26

Ok, donc en résolvant le système j'ai trouvé:

x1+x2+x3+x4 = 5
x1x3+x1x4+x2x3+x2x4 = 0
2x3+2x4+x1+x2 = 5

L3 - L1 =>  x3+x4 = 0  =>  x3 = -x4

x1 = 5
x2 = 0
x3 = 1
x4 = -1

P(X) = (X - 5)(X - 0)(X - 1)(X + 1) = (X - 5)(X - 1)(X + 1)X mais quand je développe tout je ne retrouve pas P(X)

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 20-07-08 à 17:51

Prends l'habitude une fois que tu as résolu une équation, un système, ou autre, de vérifier que tes valeurs sont bien solutions.

Tu dois avoir x_1 x_2 = 6.

Je ne comprends pas comment tu obtiens les valeurs finales a partir des équations obtenues.

Voila comment j'ai fais :

\{{x_1 + x_2 +x_3+x_4 = 5 \\ x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4+x_2 x_3+ x_2 x_4+x_3 x_4 = 9 \\ x_1 x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=15 \\ x_1x_2x_3x_4 = 18\\ x_1x_2 = 6} \hspace{15}\Longrightarrow \hspace{15} \{{x_1 + x_2 +x_3+x_4 = 5 \\ x_1 x_3 + x_1 x_4+x_2 x_3+ x_2 x_4 = 0 \\ 6x_3+6x_4+3x_1+3x_2=15 \\ x_3x_4 = 3\\ x_1x_2 = 6}

\Longrightarrow \{{x_1 + x_2 +x_3+x_4 = 5 \\ x_1 x_3 + x_1 x_4+x_2 x_3+ x_2 x_4 = 0 \\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_1+x_2=5 \\ x_3x_4 = 3\\ x_1x_2 = 6} \hspace{15}\Longrightarrow \hspace{15} \{{x_1 + x_2 + x_3+x_4 = 5 \\ x_1 x_3 + x_1 x_4+x_2 x_3+ x_2 x_4 = 0 \\ x_3+x_4=0 \\ x_3x_4 = 3\\ x_1x_2 = 6}

On a \{{x_1x_2 = 6 \\ x_1+x_2 = 5} \hspace{5} et \{{x_3x_4 = 3 \\ x_3+x_4 = 0} \hspace{5}, on peut donc se ramener à des équations du second degré, et conclure.

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 20-07-08 à 18:13

Ah d'accord, merci Arkhnor pour tes détails

(je pensais qu'il fallait trouver x1,...,x4), d'accord je commence seulement à comprendre cette méthode, mais avant de finir j'ai une question, si on avait eu un polynôme de degré 5, (ie n = 5), on aurait posé x1,x2,x3,x4, et x5 les 5 racines de P

on aurait eu x1x2 = ...
             x1+x2 = ...


puis: x3x4 = ...
      x3+x4 = ...

et x5 = ....   , mais x5 me pose problème ? On le multiplie et on l'additionne avec qui ?


Merci d'avance pour tes explications

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 20-07-08 à 18:22

Si Si, il faut bien déterminer les x_1, x_2, x_3 et x_4.
Une fois que t'as les systèmes à deux équations, faut les résoudre ^^
Mais c'est pas très dur

Je te propose un autre exemple, de degré 3 (degré impair donc)

Trouver les racines du polynôme P(X) = X^3 - 6X^2 +4X+5 de \mathbb{R}[X], sachant que la somme de deux d'entre elles vaut 1.

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 20-07-08 à 18:26

on sait que:

aX² + bX + c = aX² - a(x1+x2)X + ax1x2

=> X² - 5X + 6 ici j'ai pris a = 1

a = ? Comment trouve t-on a ?

aX² + bX + c = aX² - a(x3+x4)X + ax3x4

=> (X² + 3)

Or X² - 5X + 6 = (X - 2)(X - 3)

on retrouve bien ce que j'avais fais avant

Maintenant je cherche donc x1, x2, x3, et x4 et je commence ton exercice avec le degré impair.

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 20-07-08 à 18:32

A la limite, inutile de se compliquer la vie.

\{{x_1 x_2 = 6 \\ x_1 + x_2 = 5}\hspace{15} \Longrightarrow \hspace{15}\{{x_1x_2 = 6 \\ x_1 = 5 - x_2} \hspace{15} \Longrightarrow \hspace{15}\{{(5-x_2)x_2 = 6 \\ x_1 = 5 - x_2}

Tu développes la première ligne, et tu retombe sur l'équation du second degré.
Idem avec l'autre.

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 20-07-08 à 19:20

Sinon, pour répondre à ta question sur a, tu peux le choisir arbitrairement (en général 1), ca n'influe pas sur les racines. (en fait, c'est comme si tu multipliais l'équation par un coefficient, ca ne change pas les solutions)

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 20-07-08 à 19:39

D'accord, sinon en résolvant je trouve:
si x1=2 => x2=3
si x1=3 => x2=2

puis si x3=i3  => x4=-i3
         x3= -i3  => x4=i3

Normalement c'est ça !

P(X) = X3 - 6X² + 4X + 5 donc n=3 et an=1

on note x1,x2 et x3 les 3 racines de P.

P(X) = X3 - 1X² + 2X + 3

1 = x1+x2+x3 = 6
2 = x1x2+x1x3+x2x3 = 4
3 = x1x2x3 = 5

x1+x2+x3 = 6
x1x2+x1x3+x2x3 = 4
x1x2x3 = 5
x1+x2 = 1

x1+x2+x3 = 6
x1x2+x1x3+x2x3 = 4
x1x2x3 = 5
x1+x2 = 1
x3 = 5

en remplaçant x3=5 dans:
x1x2x3 = 5 => x1x2=1

On a donc:
x1+x2 = 1
x1x2 = 1

et x3=5

et maintenant que fait-on ?

Merci pour ton aide

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 20-07-08 à 19:50

Ok pour l'exo d'avant !

Par contre, je ne suis pas d'accord avec la troisième ligne de ton système (\theta_3)
C'est \theta_3 = x_1x_2x_3 = -5
(tu vois pourquoi ?)

Je te laisse reprendre.

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 20-07-08 à 20:00

Non, mais en regardant l'exemple d'avant j'en déduis qu'on alterne le signe + et le signe - , c'est à dire par exemple:

P(X) = X5-1X4+2X3-3X²+4X-5

Est-ce ceci ?

(Heureusement que tu m'as donné un autre exo, je ne savais pas )

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 20-07-08 à 20:07

C'est cela, on alterne les signes.
(cela vient du théorème sur les relations entre coefficient et racines, c'est le (-1)^k qui en est responsable)

Donc, pour un polynome du troisième degré, on a P(X) = X^3 -\sigma_1 X^2 + \sigma_2 X - \sigma_3

L'erreur de signe vient de la.

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 20-07-08 à 20:42

Je trouve donc:

x1+x2 = 1
x1x2 = -1
x3 = 5

et on trouve:
si x2= (1-5)/2  =>  x1= (1+5)/2
si x2= (1+5)/2  =>  x1= (1-5)/2

et x3= 5

les racines sont bien réelles.

on a donc: X² - X - 1 = (X - (1-5)/2)(X - (1+5)/2)

=> P(X) = (X - (1-5)/2) * (X - (1+5)/2) * (X - 5)

Est-ce correcte ?

Posté par
Arkhnorre : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 20-07-08 à 20:46

Tout bon !

Tu as bien travaillé, tu as mérité un peu de repos

N'hésites pas si tout n'est pas clair à reposer des questions

Bonne soirée.

Posté par
shelzy01re : endomorphisme, diagonalisation, facteurs irréductibles,.... 20-07-08 à 21:12

Ok, je te remercie Arkhnor pour tes explications, détails etc...., j'ai tout compris

Citation :
N'hésites pas si tout n'est pas clair à reposer des questions

Y'a pas de soucis

Merci encore et bonne soirée à toi aussi


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