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Endomorphisme et dimensions
Bonjour à tous,
J'utilise le sujet suivant :
Soit K un corps commutatif. Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie
et f : E → E une application linéaire. Montrer que f est injective si et seulement
si f est surjective.
Pour répondre a cela j'aurais pensé dire la chose suivante :
Montrons par contraposée que f surjective => f injective,
supposons que f n'est pas surjective, alors :
im f ≠ E => (c'est ici que je bloque car f est un endomorphisme (de E dans E) je ne sais pas trop quoi mettre) dim(im f) ≠ dim(E) => dim(Ker f) ≠ 0 => Ker f ≠ 0 => f non injective.
merci d'avance pour votre aide, elle me sera utile... :we:
Bonjour rivarol89,
tu peux utiliser le fait qu´en dimension finie, une application linéaire est un isomorphisme ssi elle envoie une base donnée sur une autre base, qu´une base est une famille libre, que par une application injective, l´image d´une famille libre est une famille libre, et enfin que dans un espace de dimension finie n, toute famille libre de cardinal n est une base.
Tigweg 
Bonjour
pourquoi pas des équivalences, si tu disposes du th du rang ?
f surjective <==> Im f = E <==> rg(f) = dim(E) <==> dim(Ker f) = 0 <==> Ker f ={0_E} <==> f injective
Bonjour
Tu as montré que f non surjective implique f non injective, donc par contraposée f injective implique f surjective.
Montre le sens inverse à présent.
Bonjour à tous!
Oups très en retard
Quand Tigweg est sur le coup, faut pas trainer en route...
Tiens, par contre je n´avais pas vu qu´il y avait un ssi.
Du coup si on poursuit mon raisonnement, il faut dire ensuite que par une application surjective, l´image d´une famille génératrice est génératrice, et qu´une famille génératrice de cardinal est une base dans un espace de dimension n.
Mais la démonstration de lafol devient largement plus économique, dans ces conditions!
Waw c'est rapide ici...
merci pour vos réponses ! mais en fait le truc qui me gêne c'est que si f est un endomorphisme,
on a forcement rg f = dim E nan ? dans ce cas on a toujours ker(f) = 0, enfin si ce n'est pas le cas, pourquoi ? :-/
Non pas forcément, par exemple l´application linéaire de R2 dans lui -meme qui a (x,y) associe x est de rang 1.
Le rang est le nombre maximal de vecteurs libres qu´on peut trouver dans l´image d´une base.
Tous les endomorphismes non bijectifs sont de rang strictement inférieur a la dimension de l´espace.
donc en gros ca veut dire que l'image de E par un endomorphisme est de dimension inférieure ou égale a la dimension de E
argh je dois revoir mon cours...
Effectivement!
Prends l'application nulle, sur R3: l'espace d'arrivée est de dimension grave inférieure!
On ne le fait pas! Peut-être quelqu'un trouvera une erreur, ou une autre idée, ou voudra saluer l'un d'entre nous.
Ca laisse l'espace ouvert...
En fait, ce qui conclut souvent un topic (sous les réserves que j'ai faites), c'est les remerciements.
Sympathique, non?
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