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Endomorphisme et espaces vectoriels
bonjour,
j'ai rencontré un petit problème et je souhaitais être guidé durant la réalisation d'un exercice.
Soit f et g deux endomorphisme d'un R-espace vectoriel E
Montrer que g rond f = 0 si, et seulement si, Im f 
ker g.
Donc je pensais le démontrer en deux étapes,
premièrement en supposant Im f Ker g
pour montrer que g rond f =0
et ensuite en supposant g rond f = 0
pour montrer que Im f ker g
je voulais savoir si c'est le bon raisonnement pour commencer ?
oui
SSI c'est 
Tu as du voir que
Montrer que "P Q est vrai" se fait (sauf dans des cas très simples) en faisant une directe et une réciproque ; par exemple on montre que " P
Q "est vraie puis que "QP" aussi.
j'ai néanmoins du mal a comprendre Im f ker g
ce serait :
{y
F,
xE : y f(x) } {xE : g(x)=0 }
donc les x tel que f(x)=y et tel que g(x)=0 ?
je vois pas comment m'en servir ?
C'est parce que c'est trop formel.
Tu veux montrer que g o f (x)=0. Or f(x) est dans Im(f). Comme l'hypothèse est que , f(x) est dans Ker(g) donc g(f(x))=0.
Vas-y pour la réciproque!
La réciproque serait
On note y Im (f) si f(x)=y
or on note y Ker(g) si g(y)=0
Si g o f(x) = 0
je vois pas comment passé a la dernière ligne, je vois pas comment l'expliquer
Im(f)Ker(g)
Parce que tu essayes de mettre ensemble des notions sans te demander ce que tu fais.
Tu veux montrer que . Commence par
Soit , ... et finis par ... donc
ok alors on suppose g o f(x) =0
on pose y Im(f)
or on a g(f(x))=0
donc g(y)=0
donc y Ker(g)
donc c'est vérifié ?
Ce n'est pas tout-à-fait le bon ordre.
Soit . Alors il existe x tel que y=f(x). (Dans ce que tu as écrit, on ne voit pas le rapport entre x et y). Alors g(y)=g(f(x)). Comme l'hypothèse est que g o f=0, on a bien g(y)=0, donc y\in Ker(g).
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