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Endomorphisme et EV
Salut !!
voila l'énoncé de l'exerceci que je suis entrain de chercher ...
soit f l'endomorphisme de R^3, défini dans la base canonique (e1 e2 e3) par
f(e1) = - 2e1 - 4e2 + 5e3
f(e2) = 4e1 + 8e2 - 10e3
f(e3) = 2e1 + 4e2 - 5e3
Déterminer Kerf et Imf ?
Tout d'abord pour kerf j'ai dit que on cherchais les vecteurs u appartenant à R^3 tel que f(u)=0.
Et après je vois pas comment partir avec la définition qu'on nous donne ... ? et puis avec cette base canonique là, elle me dérange un peu ..
Merci d'avance pour votre aide !
Bonjour,
si tu as vu les matrices, écris la matrice M de f dans cette base puis résous le système
Sinon, écris directement que pour tout vecteur u = x.e1 + y.e2 + z.e3 de ton espace, f(u) = ...(linéarité) = ...
Puis résous f(u) = 0, qui donne un système de trois équations à trois inconnues. 
Pour Im(f), commence par appliquer le théorème du rang (tu connais?) pour trouver sa dimension, ce qui est possible car tu as trouvé Ker(f) et donc sa dimension.
Puis essaie de dénicher autant de vecteurs libres dans l'image de f que la dimension de Im(f).
Tu auras alors une famille libre de Im(f) de cardinal la dimension de Im(f), et donc une base! 
Bonjour
pour Im(f) tu peux aussi ouvrir tes yeux et remarquer que f(e1) = -f(e3) et f(e2) = 2f(e3) ....
donc Im(f) est la droite vectorielle engendrée par f(e3)
rang et dimension ne font pas encore partie de mon programme ! donc je vais me pencher sur la droite vectorielle engendrée meme si je vois pas trop comment l'aborder... merci quand meme !^^
avec ce que j'ai remarqué, f(xe1+ye2+ze3) = (-x+2y+z)f(e3) (avec la convention caractère gras = vecteur, maigre = scalaire)....
je n'arrive pas à déterminer kerf
est-ce correct de partir de f(u) = 0 equivalent aux trois equation suivantes ?
-2u - 4e2 + 5e3 = 0
4e1 + 8u - 10e3 = 0
2e1 + 4e2 - 5u =0
???
et trouver u = 4/3 e1 , u = -8/7 e2 , u = 10/11 e3 et en déduire kerf = Vect(4/3;-8/7;10/11) dans la base canonique (e1 e2 e3) ??? ???
reprends mon message de 14:34 : u de coordonnées (x,y,z) est dans ker f si et seulement si -x+2y+z=0, donc ssi x = 2y+z, donc ssi u a pour coordonnées (2y+z ; y ; z) = y(2 ; 1 ; 0) + z(1 ; 0 ; 1)
autrement dit, 2e1+e2 et e1+e3 sont générateurs de ker f. comme ils sont manifestement non proportionnels, ils forment une famille libre, donc une base de Ker f
donc j'en déduis que Kerf = Vect(2e1+e2,e1+e3) est-ce correct ?
et pour mon Imf le raisonnement est-il semblable ?
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