x'=mx+my+0z
y'=x+my+0z
z'=0x+0y+mz

Si ça c'est pas une application linéaire...

Bonsoir dhalte,

y' = x + (m+2)y + 0z, non ?

C'est ça qui m'ennuie... =/

Merci de ton aide en tous les cas !

Oh oui, pardon
y'=x+(m+2)y+0z

Mais m ou m+2, ça reste un coefficient constant (même si cette constante est paramétré)

D'accord,

En général pour montrer qu'une application était linéaire je prenais deux fonctions et deux scalaires pour montrer par exemple que (af +bg)(x) = af(x) + bg(x)

Là j'avais essayait de prendre f_m et f_m' mais ça ne marchait pas.

Bref, je ne vois pas trop comment l'expliquer, en tout cas je ne l'ai jamais fait comme tu me le présentes. Si tu pouvais m'expliquer ce serait sympa de te part,

Merci

Justement

prends et

Calcule et

Mais ne fais pas varier m : c'est un paramètre. Garde à l'esprit que c'est comme une constante.

Ensuite, il se trouve qu'on discute du comportement de l'application suivant la valeur définitive de la constante. Mais pour montrer la linéarité, tu GARDES m CONSTANT.

D'accord ! Très bien alors

Et donc la matrice de f c'est :

m    m    0
1   m+2   0
0    0    m
c'est ça ?

C'est ça. Son déterminant est m²(m+1)

Et à partir de là, on commence à discuter des valeurs de m qui donnent des valeurs particulières du déterminant.

Euhhh oui... C'est quoi ces histoires de déterminants là ? ^^"

En tout cas après on me demande de déterminer Ker f_m et Im f_m (selon m) et d'en donner une base

Pour Ker f_m j'ai pensé à :

* Si m = 0

Ker f_m = {(-2y, y, z) avec (y,z) dans R²}

* Si m = -3

Ker f_m = {(x, -x, 0), x réel)}

* Si m différent de 0 et -3

Ker f_m = {(0, 0, 0)}

Mais je ne sais pas si l'écriture est bonne ni même si c'est ça...

Bon, tu n'as pas encore vu les déterminants, alors oublie mon allusion à cette bête.

Tu as dû faire des erreurs de calcul dans ta recherche du noyau.
Pour m=0, c'est bon
Je ne comprends pas pourquoi tu étudies m=-3. Mais te toutes façons, ta réponse est incorrecte.
Par contre il existe un autre cas particulier : m=-1

Ah, oui...

* Si m = 0

Ker f_m = {(-2y, y, z) avec (y,z) dans R²}

* Si m = -1

Ker f_m = {(x, -x, 0), x réel)}

* Si m différent de 0 et -1

Ker f_m = {(0, 0, 0)}

là c'est bon ? =)

Je préfère...

Tu peux remarquer que ces valeurs 0 et -1 sont celles qui annulaient ce que j'ai appelé le déterminant. Mais tu verras cela plus tard.

Quelles sont les dimensions du noyau dans chacun des cas m=0, m=-1 et m 0 e -1 ?

Si m = 0, dim Ker f_m = 2
Si m = -1, dim Ker f_m = 1
Si m différents de 0 et 1, dim Ker f_m = 0

Mais pour les images je bloque, dois-je simplement dire que :

Im f_m = {(m(x+y), x+(m+2)y, mz, (x,y,z)appartenant à R^3)} ??

Avec les valeurs particulières :

m=0, Im f_m = {(0, x, 0), x réel)}
m=-1, Im f_m = {(-(x+y), x-y, -z), x,y,z réels)}

Sais-tu déjà que  dans un espace vectoriel V de dimension finie, on a

dim(ker)+dim(Img) = dim(V)

donc

m=0, dim(Img)=1

m=-1, dim(Img)=2

, dim(Img)=3

En fait, si pour m=-1, on a

x'=-x-y
y'=x+y

ces deux équations montrent que x' et y' peuvent obtenir n'importe quelle valeur réelle.
La forme des équations qui montrent la dépendance des valeurs de x' et y' ne doit pas masquer ce fait, car quand on recherche l'image de l'endomorphisme, on ne s'occupe plus de cette dépendance.

D'accord, mais pour m = -1, je ne comprends pas pourquoi (r,s,0), car mz = -z donc... :s

Mais oui, tu as raison... Je m'excuse, j'ai dérapé.

m=-1 dim(Img)=2 Img=

Très bien

Merci beaucoup !

Dernière question, une base pour Ker et Im ?

Si je prends par exemple m = -1, une base de Im est {(1,-1,0),(0,0,1)} par exemple ?

Tout à fait.
Ainsi, on a (r,-r,s)=r(1,-1,0)+s(0,0,1)

Parfait !

Un grand merci dhalte

Passe une bonne soirée et un bon week end !
A bientôt