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endomorphisme et matrice diagonalisable
bonjour j'ai un ptit probleme sur un exo:
determiner une condition necessaire et suffisante sur (a,b,c) dans C^3 pour que l'endomorphisme de C^3, defini par la matrice suivante
1 a c
0 a b
0 0 a
soit diagonalisable?
en fait je sait que pour que l'endomorphisme soit diagonalisable il faut que le polynome caracteristique soit scindé mais je ne vois quel est la condition?
merci d'avance.
Bonjour
* Commence par le calculer, ce polynome caractéristique
* le polynome caractéristique doit être scindé a racines simple pour qu'il y ait diagonalisation.
J'ai dit une bêtise: c'est le polynome annulateur qui doit être scindé à racines simple.
Ici, la matrice est triangulaire, le polynome caractéristique est scindé, mais ça ne veut pas dire que la matrice est diagonalisable.
Polynome caractéristique: (x-1)(x-a)²
1 valeur propre d'ordre 1, a valeur propre d'ordre 2
La matrice est diagonalisable ssi l'espace propre de valeur propre a est de dimension 2
Il faut donc déterminer la dimension du ssep de valeur propre a.
Pour cela, résoudre le système.
je sais que le polynome caracteristique est (1-x)(a-x)^2 mais je vois pas quel est la condition necessaire et suffisante sur (a,b,c) dans C^3?
La matrice est diagonalisable ssi l'espace propre de valeur propre a est de dimension 2
Il faut donc déterminer la dimension du ssep de valeur propre a.
Pour cela, résoudre le système.
Ce système donne les equations du sous-espace propre de valeur propre a.
Etudie la dimension , en fonction des paramètres a,bet c.
Utilise la CNS de diagonalisabilité.
en fait il n'y a aucune condition sur b et c? juste sur a? il suffit de calculer la dim du ssep de la valeur propre a.
il suffit de calculer la dim du ssep de la valeur propre a.
Oui!
en fait il n'y a aucune condition sur b et c? juste sur a?
Si! Ecris le système donnant les equations du ssep de a.
En écrivant les equations, tu verras que la dimension de l'espace dépend des valeurs de a, b et c.
A toi de jouer!
je ne comprends pas bien comment tu as obtenu cette matrice
Pour calculer le polynome caractéristique, tu as formé la matrice
Dans cette matrice, tu remplaces
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