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endomorphisme, evn et application linéaire
voilà, j'aurais besoin d'aide sur mon sujet en math,
on est dan R²
le but de l'exercice est de cherché tous les endomorphismes f et g dans R² vérifiant quatre propositions:
i) f²=-id
ii) g différent de id
iii) (g-id)²=0
iiii) ker(f+g-id) différent du singleton nul
iiiii)v^n=a*v+b*id
voilà les questions qui me posent problèmes:
1. on considère f et g solution du problème, et on cherche à établir que Im(g-id) est inclu dan ker(g-id).
2. en déduire que im(g-id)=ker(g-id)
3. montrer en raisonnant par l'absurde que dim ker(f+g-id)=1
Im(g-id) or (g-id)²=0 donc Im(g-id) 
Ker(g-id)...1) se démontre avec l'axiome iii) (voir démo de Carpediem, que je salue au passage)
2) se démontre en utilisant de plus avec le théorème du rang appliqué à (g - Id)... et en utilisant (ii)... on arrive à la conclusion que les deux sev ne peuvent être que de dimension 1 et 1
3) il n'est pas dimension 0 (axiome iv) et regarde ce que donnerait le fait qu'il soit de dimension 2.
MM
Merci matheuxmaxou, mais je ne vois pas très ce que tu veux dire par "regarde ce que donnerait le fait qu'il soit de dimension 2", tu pourrai un pey developpé ton idé?
on te demande de démontrer par l'absurde que c'est de dimension 1...
et on est dans R² !
donc la dimension ne peut être que 0 , 1 ou 2
or un des axiomes te dit que ce n'est pas de dimension 0
donc l'hypothèse dont on doit montrer qu'elle est absurde est d'être de dimension 2
c'est logique... non ?
MM
Oui je suis d'accord avec toi mais je n'arrive pas à voir comment faire le raisonnement par l'absurde sur la dimension 2. T'aurais pas une idée?
Je tiens tout d'abord à vous remercier pour votre aide. Mais je solicite encore vos connaissances en math. Voilà j'ai une autre question dans la logique du sujet que voici:
Soit E indice 2 une base de ker(f+g-id). On pose E indice 1= -f(E indice 2).
Prouver que (E1,E2) est une base de R².
Je sais qu'il faut montrer que c'est une famille libre et génératrice mais je n'arrive pas à voir comment je peux faire. Auriez- vous une idée?
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