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Endomorphisme hermitien
Bonjour à tous,
J'ai un petit problème dans un exercice:
E est un C-ev hermitien de dimension n non nulle
On sait que u
Her+(E) de valeurs propres µ1...µn.
On note 
=(e1...en) une bon de E telle que u(ei)=µiei.
La question est la suivante : Soit s 
L(E) tel que s(ei)=
µiei. Prouver que sHer+(E) et que c'est l'unique élément de Her+(E) dont le carré est égal à u.
En fait pour montrer que sHer+(E) c'est pas compliqué car il suffit de dire qu'il existe une bon telle que s soit diagonalisable et que ses valeurs propres sont reelles et positives.
Par contre après pour montrer l'unicité c'est beaucoup plus compliqué je trouve.
En fait j'ai envi de supposé un s' tel que se soit le carré de u, alors les valeurs propres de s' sont soit µi soit -µi. (pour que le carré soit u). Cependant si les valeurs propres sont -µi s' ne vérifie pas le fait que ses valeurs propres sont toutes positives. Donc s=s'...
Je pense pas que mon raisonnement soit correct...
Merci de votre aide !
Bonjour,
Effectivement, ton raisonnement est pour le moins... incomplet. Il ne sufit pas de vérifier que les valeurs propres de et
sont les mêmes. Par contre, ça ira bien si on vérifie aussi que les sous-espaces propres associés sont les mêmes.
Une notation : si est une valeur propre de l'endomorphisme
, on note
le sous-espace propre associé.
Une indication : montrer que si est valeur propre de
, alors
.
Merci de ta réponse et désolé de ne répondre que maintenant...
J'ai réussi à montrer que les sous espaces propres sont les memes mais je ne vois pas trop ce que ça donne...
Soient et
deux endomorphismes du même espace vectoriel
de dimension finie tels que
I) et
sont diagonalisables,
ii) et
ont les mêmes valeurs propres,
iii) pour toute valeur propre ,
.
Que peux-tu dire de et
?
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