Salut

p est un projecteur par définition.

Soit x dans E on a : x = (x-p(x)) + p(x)

Et tu vérifies que x-p(x) appartient au noyau : en effet p(x-p(x)) = p(x) - pop(x) = p(x) - p(x) = 0.

Et p(x) appartient à Im(p) donc Ker(p) + Im(p) = E.

On peut montrer qu'ils sont en somme directe aussi !

merci beaucoup

Pour montrer la somme directe :

Soit x dans l'intersection de Ker(p) avec Im(p).

On a d'une part p(x) = 0 et il existe x' dans E tel que x = p(x').

Donc p(x) = p(p(x')) = p(x') = 0.

Et donc puisque x = p(x') on a x = 0.

L'intersection est réduite au vecteur nul donc