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endomorphisme nilpotent.
Bonjour !
J'ai un exercice à faire sur les endomorphisme nilpotent et j'ai beaucoup de mal, j'ai donc besoin d'un peu d'aide.
Alors voilà le sujet:
Soit f un endomorphisme non nul de R3 nilpotent, c'est-à-dire vérifiant fN=0 pour un certain entier naturel N.
Il existe alors un entier naturel non nul k tel que fk-1 est différent de 0 et fk=0.
Le but de la question est de montrer que k est inférieur ou égale à 3.
Soit x un vecteur de R3 tel que fk-1(x) est différent de 0.
a) montrer que pour i appartenant à {0,1,...,k-1), le vecteur fi(x) est non nul.(on rappelle que f0(x)=x)
b) Montrer que les vecteur (fi(x))0<=i<=k-1 forment une famille libre.
our a)si k=1 on a f0(x)=x
k=2 on a f'(x)=1
k=3 on a f''(x)=0
Mais je ne vois pas je epux répondre à la question?
je me demande pourquoi tu écris :
k=1 on a f0(x)=x
k=2 on a f'(x)=1
k=3 on a f''(x)=0
parce que normalement si on écrit la on parle de la dérivée Kième de
mais
ne l'est pas !
par exemple
Bonsoir poupulinnette 
a) montrer que pour i appartenant à {0,1,...,k-1), le vecteur fi(x) est non nul.(on rappelle que f0(x)=x)
* On sait que fN = 0 donc à partir de N, tout est nul
* On sait aussi que f n'est pas nulle, c'est à dire f1 n'est pas nulle.
Donc forcément, entre f2, f3....fN, il y en a bien un qui est le premier NUL.
Celui-là, tu l'appelles k, et donc fk = 0 et fk-1 n'est pas nul.
Donc il existe un élément x au moins tel que fk-1 (x)
0
et par conséquent fk-2(x)
0, ....fk2 (x)0, f1 (x)0, f0 (x)= x 0Donc il suffit de dire que f est nul à partir d'un entier k et donc pour tout les entier avant c'est-à-dire de k-1 à 0 f est non nul?
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