Bonsoir,

Il s'agit de montrer : ou u est nilpotent d'ordre d ?

Tout d'abord pourquoi ker(u^d)=E ?


Pour écrire "x puissance k" tu dois ecrire, sans espace dans les balises, x[sup ]k[/sup ] et surtout utilise l'apercu, ca permet de corriger les problemes avant qu'ils soient définitifs.

merci il s'agit de montrer que    {0}=ker(u⁰) Ker (u¹)....... Ker(u^d)=E

Ok, c'est donc bien ce que j'ai écrit.

Maintenant, peux-tu répondre ma 1ere question :
Pourquoi ker(u^d)=E ?

d est l'ordre de nilpotence donc u^d=0
ker(0)=E donc Ker(u^d)=E

Ok.

Maintenant, il reste à montrer que si u est un endomorphisme alors pour tout entier naturel n, n'est ce pas ?

ker est une suite strictement croissante

Heu ca veut pas dire grand chose ca.

En fait, il faut montrer deux choses :
* Si u est une application linéaire,
* Si de plus u est nilpotent, la suite precedente est stationnaire à partir d'un certain rang.

On vient de parler de la 2e chose, reste à montrer la 1ere.

Que proposes tu ?

par recurrence

Non, on a meme pas besoin de récurrence.
Soit n dans N, et x dans Ker(uⁿ), que dire de uⁿ⁺¹(x) ?

u ⁿ⁺¹ (x)=0 donc x Ker(uⁿ⁺¹)
donc ker(uⁿ) Ker(uⁿ⁺¹)

Oui tout simplement.

merci

De rien.
Tu n'as plus qu'à recoller les deux éléments pour avoir la démonstration que tu souhaitais.