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endomorphisme noyau et image
bonjour!je suis complétement bloquée sur un exo de dm le voici
E un espace euclidien et u un endomorphisme
x
E ||u(x)|| 
||x||
montrer que E= ker(u-id) 
(orthogonal) Im(u-id)
indication: pour xker(u-id) et y=u(z)-z utiliser l'hypothèse avec le vecteur z+
x R et développer ||y+(z+x)||². conclure en faisant tendre vers l'infini
alors j'ai commencé à développer pour montrer que x.y=0
||y+(z+x)||²= <y+(z+x), y+(z+x)>
= ||y||² +2<y, z+x> + ||z+x||²
> ||u(y)|| + 2<y , z+ x> + ||u(z+ x||
> ||u(y)|| + 2<y,z> + 2 <y , x> + ||u(z+x)||
mais après je ne vois plus comment développer!
mon prof m'a dit que je devais avoir <y,x> ....
et que le but était d'obtenir <y,x> = 0 mais je n'y arrive pas
merci davance pour votre aide
j'ai réussi à avancer un peu plus
maintenant j'ai l'inégalité suivante:
||y||² + 2<y,x> +2<y,z> <0
je dois donc conclure que <y,x>=0 quand lambda tend vers l'infini
est-ce que vous pouvez me dire si le résultat suivant est correct?
si lambda tend vers +infini le membre de gauche tend vers +l'infini ce qui est impossible car c'est négatif donc il faut que <y,x>=0
mais pour lambda tendant vers - infini je n'arrive pas à conclure
pouvez vous m'aider s'il vous plait
Bonjour,
je n´ai pas tout vérifié, mais si l´inégalité de ton dernier post est juste, ton raisonnement n´est pas tout-a-fait correct:
en effet, rien ne te dit que le produit scalaire de y par x est positif.
S´il est négatif, la limite du terme de gauche lorsque lambda tend vers + infini vaut - infini.
En fait si le produit scalaire était non nul, il serait soit strictement positif, soit strictement négatif.
Dans le premier cas, la contradiction apparait lorsqu´on fait tendre lambda vers + infini, dans le deuxieme cas lorsqu´on fait tendre lambda vers - infini. 
Conclusion: x scalaire y est nécessairement nul.
merci beaucoup pour votre aide!je n'ai plus qu'à conclure avec le théorème du rang!
bonne fin de journée
Re Titi,
a priori c´est plutot u-Id le projecteur puisque son Ker et son Im sont en somme directe!
Donc, a moins que u ne soit l´identité, u n´est pas un projecteur.
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