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endomorphisme symétrique

Posté par
sOft007 24-11-08 à 22:07

Bonjour bonsoir !!
Un petit probleme pour vous tous !!
Soit f un endomorphisme symétrique vérifiant
<f(x)|x> = 0
trouver f ?
je ne sis pas du tout comment faire !

Posté par
Nightmarere : endomorphisme symétrique 24-11-08 à 22:13

Salut,

Montre que f est une isométrie!

Posté par
lafol Moderateurre : endomorphisme symétrique 24-11-08 à 22:13

Bonsoir
ne manque t il pas des précisions sur qui est x ? un petit quantificateur ?

Posté par
sOft007re : endomorphisme symétrique 24-11-08 à 22:15

oui je suis d'accord c'est une isométrie.
mais quand il demande de trouver f il entende quoi par ce genre de question ?

Posté par
sOft007re : endomorphisme symétrique 24-11-08 à 22:15

on sait juste que f est un endo symétrique de E et que x apartient à E

Posté par
Nightmarere : endomorphisme symétrique 24-11-08 à 22:15

Bah il te demande de caractériser f !

Posté par
sOft007re : endomorphisme symétrique 24-11-08 à 22:24

ben oui mais à par dire que c une isométrie...on peut dire autre chose ??

Posté par
lafol Moderateurre : endomorphisme symétrique 24-11-08 à 22:27

dire si c'est une rotation, une symétrie , ce genre de truc....
quels sont ses invariants etc

Posté par
lafol Moderateurre : endomorphisme symétrique 24-11-08 à 22:27

mais il faudrait peut être que tu nous dises si on a (f(x)|x) = 0 pour tout x ou pour un x particulier de E ....

Posté par
sOft007re : endomorphisme symétrique 24-11-08 à 22:32

pour tout x !!!

Posté par
lolo217re : endomorphisme symétrique 24-11-08 à 22:52

si  x  est vecteur propre sa valeur propre est ? donc comme f est symétrique (réel ?)  on a que  f = ?

Posté par
sOft007re : endomorphisme symétrique 24-11-08 à 22:54

??

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : endomorphisme symétrique 24-11-08 à 23:02

Bonsoir ;

On appelle endomorphisme symétrique d'un espace euclidien \left(E,<\;|\;>\right) tout endomorphisme f de E vérifiant :

4$\blue\fbox{(\forall x,y\in E) \;\;,\;\;<f(x)|y>=<x|f(y)>}

ainsi si en plus f vérifie 3$\red\fbox{(\forall x\in E) \;\;,\;\;<f(x)|x>=0} on devrait avoir 3$\fbox{(\forall x,y\in E) \;\;,\;\;<f(x+y)|x+y>=0}

et donc 3$\fbox{(\forall x,y\in E) \;\;,\;\;<f(x)|y>=-<f(y)|x>=-<x|f(y)>}

d'où 3$\fbox{(\forall x,y\in E) \;\;,\;\;<f(x)|y>=0} et f est l'endomorphisme nul sauf erreur bien entendu

Posté par
lolo217re : endomorphisme symétrique 24-11-08 à 23:05

Ben elhor trouve pareil que moi..c'est rassurant...

J'ai utilisé que sur R un endomorpshisme symétrique est diagonalisable .
Donc si  f(x)=ax  on a  < ax,x>=0  d'où  a  =à toutes les valeurs propres sont nulles et donc  f  aussi (puiqu'on a donnée une solution je lâche le morceau)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : endomorphisme symétrique 24-11-08 à 23:19

Oui lolo217 , c'est juste ce que tu as fais , tout endomorphisme symétrique d'un espace euclidien est diagonalisable
avec même une base orthogonale de vecteurs propres.

Posté par
lolo217re : endomorphisme symétrique 25-11-08 à 09:51

Ta preuve est meilleure : outre qu'elle n'utilise pas le prérequis cité elle s'étend en toute dimension.

Posté par
sOft007re : endomorphisme symétrique 25-11-08 à 15:56

merci beaucoupj'ai compris !!


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