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endomorphismes
Posté par kyliox
Bonjour, je n'arrive pas à trouver la réponse à cette question :
u°v - v°u = u, avec (u,v)
L(E)²
Montrer que u ne peut être inversible, et en déduire une expression simple de u².
Merci d'avance pour votre aide.
Déjà, pour montrer que u n'est pas inversible:
Par l'absurde, si u est inversible, on multiplie par u-1 à droite:
uvu^(-1) - v = Id.
On évalue cette relation par la trace, qui est linéaire et qui commute au produit:
tr(uvu-1) - tr v = tr Id = dim E
tr(uu-1v) - tr v = dim E
tr v - tr v = dim E = 0.
(si on suppose E=/=0, on a la contradiction souhaitée).
Pour une expression simple de u², je ne sais pas. Quelle est la dimension de E ? si c'est 2, alors u²=0. Sinon je crois qu'il n'y en a pas.
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