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Endomorphismes et représentation matricielle
Bonjour,
Une question reviens souvent au concours, et je n'ai pas vu ce point de cours.
On considèbre 
^3 rapporté à sa base canonique B.
Soit f l'endomorphisme qui a tout triplet (x,y,z) associe le triplet (x+3z),0,y-2z)
Donner la matrice A de f par rapport à la base B
C'est 0 1 -2
0 0 0
1 0 3
Je me doute ques la deuxième ligne est engendrée par la deuxième colonne la première de la première colonne etc...
Pourriez-vous m'expliquer comment arriver à cette matrice?
En vous remerciant 
Bonjour.
Appelons A cette matrice 3x3.
Tu dois imaginer que :
Cela donne immédiatement :
Autre méthode : cherche les images par f des trois vecteurs de la base canonique.
Ces images seront les trois colonnes de A.
Parfait Merci beaucoup
Autre petite question. Je fais une synthèse des conclusion que l'on peut tirer avec le déterminant d'un matrice, mais j'ai du mal à m'y repérer.
Par exemple, det = 0 implique....
etc...
J'ai du mal à voir à quoi peut servir le det dans tous les cas que je pourrai rencontrer
Pourriez-vous m'aider?
La question qui revient assez souvent est : f est-il un isomorphisme (bijection linéaire).
Pour cela, on calcule det(A), où A est la matrice de f dans une base quelconque.
Si det(A) 
0, alors f est un isomorphisme
Je maintiens.
Pour obtenir une troisième coordonnée : y - 2z, il faut bien que la troisième ligne de A soit : 0 1 -2
C'est exact, erreur de frappe:
l'image de la base canonique (e1,e2,e3) par l'endomorphisme f est:
f(e1=(1,0,0)) = (1,0,0)
f(e2=(0,1,0)) = (0,0,1)
f(e3=(0,0,1)) = (3,0,-2)
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