Bonjour
Si était non nul pour tout k, l'application linéaire
admettrait l'infinité de valeurs propres ce qui est impossible.

Merci Camélia pour ta réponse. Le bémol est que nous n'avons pas encore vu les valeurs propres. Est ce qu'il n'y a pas une autre méthode?

Merci

Finalement c'est bon je sais pourquoi je ne pouvais résoudre la question (le prof nous avait déja prévenu).Merci encore++

Hello.
Ce sujet date de longtemps, mais je le relance, j'ai le même exercice, mais je ne comprend pas .
C'est également ok pour la premiere question, mais j'aurais besoin d'aide pour la suite, à partir de interpréter ce résultat jusqu'a endomorphisme nilpotent ...

Merci de m'aidez svp, et je comprend pas trop le coup des valeurs propres ...

Bonjour

En général, une valeur propre d'un endomorphisme f est un scalaire tel qu'il existe x non nul vérifiant f(x)=x (on dit que x est un vecteur propre associé à ). On démontre qu'un endomorphisme admet un nombre fini de valeurs propres. (enfin, en dimension finie, ce qui n'est pas précisé dans l'énoncé, mais c'est surement dans les hypothèses). Si tu ne le sais pas, il est facile de démontrer qu'une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.

Alors, on a vu que . Ceci signifie que si , est valeur propre de . Or ceci n'est possible que pour un nombre fini de valeurs de k.

Dans la série hypothèse non précisée , il faut aussi être en caractéristique nulle (pour simplifier)

Bonjour lolo217; tu as raison!

Merci beaucoup, c'est vrai que c'était évident en fait .
Maintenant je bloque sur une autre question ...
J'ai donc bien Dim E = n.
Et u un endomorphisme nilpotent d'indice p supérieur ou égal à 2 .
Je sais que _u est nilpotent . ( _u est toujours le meme endomorphisme de la premiere question.)

Soit g un endomorphisme de E, de rang r.
Je dois construire un endomorphisme f de E, tel que g o f o g = g

indication : on pourra considérer deux bases B₁ et B₂ telles que:
Mat(B₁,B₂) g est la matrice par blocs :
( I_r 0 )
( 0  0 ) .

En déduire que u^p-1 Im ( _u^2p-2 ) , puis donner l'indice de nilpotence de _u .


Bon voila, je bloque sur ces questions, si possible j'aimerais un petit peu d'aide pour que je puisse avancer .. mais même en admettant la premiere je ne vois pas la deduction qu'il faut trouver ..

Merci beaucoup ..

personne ne peut m'aider?

Rebonjour

Si g est de rang r, son image est de dimension r et son noyau de dimension n-r. Soit ( une base de l'image que l'on complète n'importe comment en une base B₂de E. Il existe donc des tels que pour . Par ailleurs soit une base du noyau. Je te laisse vérifier que les forment une base B₁ de E et écrire la matrice de g par rapport à ces bases.