Bonjour,

On pourrait par exemple regarder si c'est un sous espace vectoriel de [X].
Quelles sont les conditions sur H pour que H soit un sous espace vectoriel de [X] ?
- doit appartenir à H
- ... ( ensuite ??)

les conditions sont les suivantes:

H contient le vecteur nul.

H est stable pour l'addition

H est stable pour la multiplication avec les scalaires.


Mais je n'arrive pas à le prouver

H est stable pour l'addition :
Soient , montrons que (ou + est l'addition des polynomes.)
Si , alors P₁(0)=2P₁(-1).
De même, pour pour P₂.
Que dire de (P₁+P₂)(0) ?

H est stable pour la multiplication avec les scalaires.:
Soient et , montrons que P₁ appartient à H.

On a déjà que P₁(0)=2P₁(-1). Que dire de (P₁)(0) ?

Il s'agit d'employer ce que tu sais sur les fonctions et même les polynômes ( addition de deux polynomes, etc ).

On a (P₁ + P₂)(0)=  P₁(0) + P₂(0) = 2P₁(-1) + 2P₂(-1)

Mais je ne vois pas trop ce que ça apporte!

On a (P₁)(0) = 2P₁(-1)

Je ne vois pas trop où ça me mene...

Le but est de montrer que si P₁,P₂H et , alors P₁+P₂ et P₁ appartiennent à H, c'est à dire que ce soit des polynômes qui vérifient (P₁+P₂)(0)=2(P₁+P₂)(-1) et (P₁)(0)=2(P₁)(-1).