l'énoncé serait pour tout et pour tout entier p, x est approché par un developpement tricenal d'ordre p à pres.
A demontrer pour fixé par recurrence sur p

Je ne sais pas quel est l'énoncé, mais pour moi, je veux simplement démontrer que .


Ici, j'essaye la première inclusion à savoir que .


Donc je prend un et je démontre qu'il existe des tel que (ou cela dépend si le développement tricenal est fini ou pas).



Comment faire ?

Pour les deux cas le plus simple est de faire une recurrence sur p sans se preocuper de savoir si le developpement est fini ou pas
pour proluver ce que j'ai ecrit plus haut. Il est ensuite immediat de dire que x est egal a la somme de la serie dont les termes ont été construits par recurrence
le terme d'ordre l s'obtient en divisant

le terme d'ordre l est le reste de la division de par 3.

Je n'ai pas bien compris la démarche de votre démonstration.

Soit x dans [0,1]
montrons par recurrence sur p qu'il existe un developpement tricenal d'ordre p
Pour p=0 et
supposons construit le dev d'ordre p-1
le terme d'ordre p reste de la division de partie entiere de 3^p x par 3 convient (je te laisse le verifier) pour completer le dev d'ordre p

pour x=1 tu as deja eu la solution
CQFD

salut

ne serait-ce pas les nb triadiques??
ceux qui s'écrivent en base trois mais sans utiliser le chiffre 1??

Ca m'embrouille!


Peut on reprendre ?

Je souhaite démontrer que .

Donc je prend , et ensuite je fais quoi ?

désolé je me rappelle plus mais il me semble que [0,1] est = à l'ensemble que tu donnes et l'ensemble de Cantor est celui ou tu n'utilises pas le 1...
il me semble qu'il faut démarrer ta somme à 0
peut-être montre que tout réel de [0,1] est limite d'une telle somme...

et ensuite je fais quoi ?

la recurrence que j'ai ebauchée
quest ce que tu comprends pas ?

Tu peux demontrer dans la meme recurrence que les Fk sont ce qu'il faut
A chaque etape tu prends le premier et le dernier tiers des intervalles. Cela correspond a eliminer le coef 1, celui de l'intervalle du milieu, pour les k premieres etapes.
maintenant a toi de rediger

Re bonsoir apaugam,



j'ai un gros souci de rédaction justement et je n'arrive pas à énoncer la proposition de récurrence.

Ce que j'essaie de te faire comprendre c'est que tu connais tout ca mais que tu es perturbé parce que tu le fais dans le cas de 3 au lieu de 10 mais qu'au fond tu es juste corrompu par ce que tu as appris il y'a bien longtemps.
Le fait est qu'aucune base n'est "meilleure" qu'une autre et que tout fonctionne pareil.

C'est fort possible otto.
Toujours est-il que je reste bloqué !


A dire vrai, si l'on m'avait demandé comment montrer qu'un nombre admet un développement décimal, j'aurai pas su faire...

Un peu d'aide serait la bienvenue.

Je pense que ton problème vient de ta perception des nombres.
Finalement une écriture décimale n'est rien de plus qu'une écriture pour désigner un certain réel.

L'idée est de construire 2 suites adjacentes vers un réel.
Disons que le nombre que tu veuilles écrire en base 10 est l'inverse de 3 (i.e. 1/3).

Alors tu sais que ce nombre s'écrit

0.33333...

pourquoi ?
Allons à "contre sens" pour voir ce qui s'est passé.

Tu obtiens la n premiere sequence en multipliant par 10^n et en en prenant la partie entière.
Ainsi, il est relativement clair que
E(10^n.x)/10^n est "proche" de x.

Pourquoi on a multiplié par 10^n ?
Parce que l'on voulait décaller n fois à gauche.
Pourquoi prendre la partie entière ?
Pour couper tout ce qu'il y avait après la virgule.

Maintenant, on veut faire la même chose avec la base 3.
Décaller n fois à gauche c'est multiplier n fois par 3.

Ainsi, E(3^n.x)/3^n est un bon choix d'approximation de x.

Comment être si sur que ça va réellement converger vers un nombre ?

Il suffit de construire une suite adjacence vers x.

Il est clair par construction que E(3^n.x)/3^n < x

Il est aussi clair que si on refait cette approximation mais en changeant la toute dernière decimale (ou tout dernier chiffre en base b), alors on peut s'arranger pour que cette approximation soit supérieure à x.

Par exemple [E(3^n.x)+1]/3^n est toujours plus grand que x. La raison est que
x=E(3^n.x)+y
avec y plus petit que 1 et positif.

Ainsi nos 2 approximations sont telles que
approimation1 < x < approximation2

de plus, il est clair que la 1e approximation croit avec n et que la seconde décroit.

Conclusion ?

En fait j'ai pris un exemple, 0.3333 mais je ne m'en suis pas vraiment servi.
A toi de voir ce qui se passe sur cet exemple ou un autre.

Bonjour otto,


on se donne et donc l'idée c'est de construire deux suites tel que :

- c'est deux suites soit adjacentes (et convergent vers )
- on ait .


Une fois ceci fait, on peut écrire que .

Or avec .
En écrivant en base en 3, on montre qu'alors peut ce mettre sous forme d'une série avec .

Par suite, .



Mon seul doute : l'écriture en base 3 de est-il nécessairement fini ?

Un nombre entier m se decompose en base a en une somme finie de puissances de a

cette decomposition s'obtient par divisions euclidiennes successives par a
m=aq1+r0
q1=aq2+r1
etc
le processus s'arrete (rn=0) en un nombre finie d'etapes car la suite des quotients est une suite strictement decroissant d'entiers
et m=r0+r1+...rn exactement

Ok.
Merci à vous deux.