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ensemble équipotent
salut
j'aimerai avoir la preuve du théorème p(N) est équipotent à R.merci
mon adresse est la suivante:** pas de mail **
je fais mathématiques niveau 3
La preuve peut se faire de la façon suivante:
1.On met [0 , 1[ en bijection avec un ensemble de suites :
Soit b un entier > 1 . On désigne par Sb l'ensemble des suites u : 
* 
Kb = {0,1,...,b-1} et pour u 
Sb on pose fb(u) = 
n>0u(n)b-n . On a : fb(Sb) = [0 , 1[ mais fb n'est pas injective .
On considère donc Tb = { u Sb | 
n , 
k 
n tq u(k) 
b - 1 } .
Alors Tb et [0 , 1[ sont mis en bijection par fb.
2.[0 , 1[ n'est pas dénombrable: (C'est cantor qui a du le prouver le premier)
La preuve est simple .
Soit A une partie dénombrable de [0 , 1[ et a une bijection de sur A.Pour chaque entier n soit un T2 tq a(n) = un
On pose alors b(n) = 0 si un(n) 0 et b(n) = 1 si un(n) = 0 . Il ne reste plus qu'à voir que f(b) 
A .
3.Si E est un ensemble non dénombrable et A une partie finie ou dénombrable de E alors E et E \ A sont équipotents.
4.P() et S2 sont équipotents:
Si A 
on définit uA S2 en posant uA(n) = 1 si n A et uA(n) = 0 sinon .
A uA est une bijection de P() sur S2.
De tout ça résulte P() 
S2 T2 [0 , 1[ ]0 , 1[ 
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