Bonsoir
pour commencer, attention : on ne te demande pas de prouver l'égalité, mais l'équivalence entre cette égalité et autre chose

D'accord, mais je ne dois pas la montrer ?

tu peux procéder par double implication :
1°) si B=f(f^{-1}(B)), alors B contenu dans Im(f) (à peu près évident)
2°) si B contenu dans Im(f), alors B = f(f^{-1}(B)) (là, à voir, la double inclusion servira peut-être)

1°) f^-1(B) renvoie les x de E qui par l'application f : E -> F sont dans B. ainsi f(f^{-1}(B)) donne l'image des x par f qui sont dans B, celles-ci faisant partie de Im f.

Je ne sais pas comment l'écrire en langage mathématique "pur"

2°) Supposons B contenu dans Im f
    Alors il existe x E  tel que f(x) B.
Tous les élément y de B tels que f(x)= y, x dans E
Donc, x = f^-1(y)
      f(x)= f(f^-1(y))
      B = f(f^-1(B))

Voilà, c'est comme ça ?
J'ai un peu de mal à voir la manière de rédiger ...