Bonsoir,

Pour tout XcE, notons X'le complémentaire de X dans E.
  Alors:
           (X')'=X
  et, pour tout XcE et tout YcE/
         (XuY)'= X'nY'
         (XnY)'= X'uY'

  1°) Hyp AnB=AnC   (1).
   AnA'=Vide, donc:
      AnB'=(AnA')u(AnB')=An(A'uB')=An(AnB)'.
  Par la même méthode, nous obtenons:
    (AnC')=An(AnC)'.
  
  Alors: AnB=AnC => (AnB)'=(AnC)' => An(AnB)'=An(AnB)', c'est à dire:
        
         AnB=AnC =>AnB'=AnC'   (1).

  Réciproque:
  ==========
      Hyp: AnB'=AnC'  (2).
  On applique alors le 1°) aux ensembles A, B' et C':

         AnB'=AnC'=> An(B')'=An(C')'=> AnB=AnC.

  Amicalement.

merci beaucoup galois tes explications m'ont été d'un grand secours.