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Ensembles denses
Bonjour, je n'arrive pas a comprendre un passage dans un bouquin alors je solicite votre aide :
Soit L une partie de H un Hilbert . Il est ecrit que puisque L n'est pas dense dans H il existe donc un element x non nul de H tel que <x/y> =0 pour tout y de L . La seule definition que je connais est : puisque L non dense dans H alors il existe x dans H tel que x n'est pas limite d'eléments de L et je ne vois pas le lien avec ce qui est ennoncé.
Merci d'avance!
Salut. 
Dans un Hilbert, il y a équivalence entre L est une partie dense, et L orthogonal est réduit au vecteur nul.
Ce n'est pas très dur à montrer.
En fait, je suis allé un peu vite, il y a équivalence entre L est une partie totale, et L orthogonal est réduit au vecteur nul.
En revanche, c'est vrai si L est un sous-espace vectoriel de H.
D'ailleurs, tu es sur qu'il n'y a pas d'autres hypothèses sur L (du genre L est un sev) ?
Si on prend , muni du produit scalaire usuel (ici la multiplication des réels) et
, L n'est pas dense dans H, et pourtant il n'existe pas de réel x non nul, tel que xy = 0 pour tout y de [1,2].
à prendre avec des pincettes ...
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