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equation cyclotomique

Posté par
severous 03-10-09 à 18:22

Bonjour a tous,
Je suis un exercice avec les complexes et la résolution des racines cinquièmes de l'unité (Z^5=1),
et je trouve a un moment une telle équation:
Z^4+Z^3+Z^2+Z+1=0
ou Z est un nombre réel

en regardant des cours par-ci par là j'ai pu voir que j'étais sur de bonnes voies, malheureusement je ne sais comment résoudre cette équation!! j'ai aperçut quelques résultats a droite et a gauche, et cela nous donne des résultats très très complexes. que l'on obtient notamment en dessinant un pentagone, arrimé au point (1.0) inclue dans le cercle de centre 0,0 et de rayon 1. Chaque commet du pentagone est une solution. 1 est une solution par exemple.

bref je suis dans le brouillard !!
pouvez vous m'aidé svp??

merci d'avance!

Posté par
MatheuxMatoure : equation cyclotomique 03-10-09 à 18:24

Bonjour
Divise ton équation par Z²
Pose Y=Z+1/Z
Y²= ?
équation en Y :

Posté par
severousre : equation cyclotomique 03-10-09 à 18:35

euh si je divise par Z² sa me donne ceci:
z^2+z+1+1/z+1/z^2=0
si je pose y=Z+(1/Z)
y²=z²+(1/z²)+2

l'equation avec Y donnerais:
Y²+Y-1=0 se qui peut être résoluble! je me trompe?

Posté par
MatheuxMatoure : equation cyclotomique 03-10-09 à 18:40

ben oui !

tu en déduis deux solutions en Y, chacune donnant, en reportant, deux solutions en Z

Posté par
severousre : equation cyclotomique 03-10-09 à 18:42

merci beaucoup!!! effectivement sa correspond bien a ce que demande l'enoncé!!!!

Posté par
MatheuxMatoure : equation cyclotomique 03-10-09 à 18:42

ben oui !

pas de quoi, ce fut un plaisir

MM

Posté par
severousre : equation cyclotomique 03-10-09 à 19:11

tu m'a posé une colle tout de même...
comment reporté et chopé Z avec Y=Z+1/Z sachant que Z=x+iy
même si je pose z=x+iy
je trouve un truc immonde...... vraiment immonde, mais les solutions le sont aussi de toute façon.
Sa fait genre:
Y= (x^3+x+xy^2+i(x^2y+y^3-y))/(x^2-y^2)
avec  Y1=(-1-\sqrt{5})/2
Y2=(-1+\sqrt{5})/2

je suis bien mal pourvu :p

Posté par
severousre : equation cyclotomique 04-10-09 à 12:32

double post, désolé.
Mais j'ai avancé dans mes calculs

Est-ce que quelqu'un peut m'aidé a résoudre ce genre d'equation??????
\frac{x^3+x\times%20y^2+x}{x^2+y^2}+i\frac{y\times%20x^2+y^3-y}{x^2+y^2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}

il s'agit d'une de mes solution, au total il y en a 4 mais si je comprend comment faire pour une j'ai gagné pour les trois autres.
j'ai vérifier la véracité de mes calcul en me disant:
voilà le resultat est un réel pure. Ce qui veux dire que:
y\times x^2+y^3-y=0=0
ici j'ai tenté de factorisé par Y pour trouvé soit Y=0 soit Y=\sqrt{1-x^2} mais voilà le problème c'est que j'ai pas deux équations!!
enfin si j'ai aussi ça:
\frac{x^3+x\times%20y^2+x}{x^2+y^2}+i\frac{y\times%20x^2+y^3-y}{x^2+y^2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}
mais je doute de pouvoire en tiré quelque chose.
Et pour vérifier mes calculs je connais les solutions que je devrais obtenir qui sont pour les deux premières:
-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{5}}{4}+\frac{1}{4}i \times \sqrt{2}\sqrt{(5+\sqrt{5})}
-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{5}}{4}+\frac{1}{4}i \times \sqrt{2}\sqrt{(5-\sqrt{5})}
en supposant que y=\frac{1}{4} \times \sqrt{2}\sqrt{(5-\sqrt{5})} et que x=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{5}}{4}
j'ai remplacé dans l'équation y\times x^2+y^3-y=0 et si j'ai pas fait d'erreur je tombe bien sur 0!

donc SVP!! est-ce que quelqu'un pourrait me dire comment résoudre ces équation avec 2 inconnue !!!!!!!!!!!!!

merci d'avance!!!!!!!!!!!!

Posté par
MatheuxMatoure : equation cyclotomique 05-10-09 à 18:51

pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué !

Y² + Y - 1 = 0 te donne deux solutions Y1 et Y2

et Y1 = Z + 1/Z  te donne Z² - Y1 Z + 1 = 0 ... équation de degré 2 ... tu ne sais pas résoudre ça sans passer par les parties réelles et imaginaires ????? (à l'avenant pour Y2)

MM


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