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Equation de degré n : somme et produit des racines
Bonjour,
Voulant vérifier si je ne me trompe pas sur une relation entre coefficients et racines je vous soumet ma formule permettant de calculer la somme et le produit des racines d'une équation de degré n dans C :
Soit P(z) l'équation :
anzn + an-1zn-1 + ... + a1z + a0 = 0
où z 
et 
i{0;1;...;n}, ai 
.
Soit S la somme des racines de P(z) et P leur produit.
Alors : S =
P = si P(z) est de degré pair
P = si P(z) est de degré impair
Y a-t-il quelque chose de mal dit ou de faux dans ces résultats selon vous ?
Merci d'avance de votre assistance
PS : je me suis servi de l'article de wikipedia aussi présent sur l'encyclopédie du site pour retrouver ces formules 
Je n'ai pas considéré l'équation P donc je ne vois pas le problème là; cela dit merci, j'avais oublié de préciser que an
0
Mais si:
formule permettant de calculer la somme et le produit des racines d'une équation
Soit P(z) l'équation :
P(z) n'est pas une équation, c'est la valeur d'un polynôme en un complexe...
Il suffit d'enlever le mot équation, d'enlever le symbole = 0, et tout sera bon !
si je dis équation équation polynomiale ça n'arrange pas les choses ?
Et si je dis polynôme (tout simplement) ?
Et pourquoi enlever le =0 puisque c'est bien cette équation que je veux résoudre trouver les racines du polynômes signifie trouver les solutions de l'équation P(z) = 0 nan ?
J'ai peut-être fait des erreurs d'écriture mais je ne comprends pas pourquoi
si je dis équation équation polynomiale ça n'arrange pas les choses ?
C'est juste une question de vocabulaire.
Quand on parle des racines d'un polynôme, on parle bien des solutions de l'équation P(z)=0, mais il est inutile d'écrire l'équation pour écrire les relations entre coefficients et racines.
Mais ce que tu dis est maladroit: un polynôme, ce n'est pas juste une équation!
C'est une fonction.
Bref, je crois qu'on s'éloigne de ton sujet, mais c'est toi qui demandais si ce que tu avais écrit était parfaitement rigoureux...
Et puis, si on est puriste, un polynôme n'est même pas une fonction, c'est une suite (presque nulle) de coefficients...
Non ca ne me dérange pas, merci de m'expliquer
Et pourquoi la suite de coefficients est "presque nulle" ?
Sinon j'ain inversé la formule pour n pair et impair dans le produit.
Presque nulle car les termes d'indice 0, 1, ..., n sont égaux aux coefficients, et les termes d'indice > n sont tous nuls.
Eh oui, tu as inversé les cas n pair et n impair, je ne m'en étais pas aperçu !!
Dans le polynôme par exemple, la suite commence par 1 ; -2 ; 4 .
Que valent les autres coefficients? 0; 0; 0... jusqu'à l'infini vu qu'il n'y a pas de terme de degré > 2.
C'est analogue pour tout polynôme.
Ah oui d'accord c'est sur , alors un polynôme est une suite de coefficients ? associé à des variables quand même nan ?
salut
P est un polynome
P(z) est l'image de z par la fonction polynome P
2x + 3 = 2 est une équation (une égalité pas toujours vraie)
P(z) = 1 est une équation ...(une égalité pas toujours vraie)
2 = 3 est une égalité (fausse bien sur)
2 * 2 = 4 est une égalité vraie
ces deux égalités peuvent être vues comme des équations d'inconnues ce que tu veux)
et le produit des racines de P est (-1)na0/an puisqu'un polynome dans C admet n racines ...
un polynome de degré n dans C admet n racines
ok mais pourquoi cela implique le résultat du produit ?
il a n facteurs z - ai où les ai sont les racines de P
factoriser un polynome <==> chercher ses racines
....
J'imagine mon produit : (z-z1)(z-z2)...(z-zn) où, i {1;2;...;n}, zi est une racine de P
C'est ça mon produit de n racines ?
avec le second degré
ax2 + bx + c = a(x - u)(x - v) où u et v sont les racines de P (cours de première .....)
déceloppe le second membre et identifie ....
a(x-u)(x-v) = ax²-avx-aux+auv = ax² + (-av-au)x + auv
Par identification a=a, b=-av-au=-a(v+u), c =auv
D'où u+v = -b/a
et uv = c/a
d'où le résultat du produit et de la somme pour une équation du second degré
voilà j'ai fait comme tu m'as conseillé
ben le terme constant c'est c = auv .... * (-1)2 si tu veux pour montrer la formule ....
donc généralise à ton polynome ....
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