Bonjour Facker,

Citation : << Je trouve les racines du polynôme caractéristique = -1 et -2 et donc la solution générale. >>
D'accord. C'est exact. Mais où est cette solution générale, écrite noir sur blanc ?
Si tu l'écris, tu vois qu'elle ne contient pas exp(-x)cos(x). Elle ne contient pas non plus exp(-x)sin(x).
Donc toute la suite de ton raisonnement ne tient pas.

Bonsoir,

La "solution générale" est en fait la solution sans second membre qui est:
x->C*exp(-x)+D*exp(-2x); C,D appartiennent à R

La suite du raisonnement et ma question concernent en fait l'équation particulière avec le second membre.

Merci de votre aide.

Bonsoir,

tu as écrit : << Cependant comme -1 est racine du polynôme caractéristique, la solution devrait être de la forme:
y1= A(x) * exp(-x) * cos x   +   B(x) * exp(-x) * sin x
Avec A(x) et B(x) des polynômes de degré 1. >>
- Il n'y a aucune raison pour que A(x) soit un polynome de degré 1 puisque la fonction (exp(-x) * cos x) ne figune pas dans la solution générale. On ne doit pas s'étonner de trouver un coefficient A constant.

Bonsoir.

La solution générale de l'équation homogène est :

y = a.e^-x + b.e^-2x

Pour chercher une solution particulière de l'équation complète, on pose y = e^-x(A.cos(x) + B.sin(x)).

En dérivant deux fois, puis en reportant dans l'équation, il ne reste qu'à identifier.

Je trouve A = -1 et B = 0.

Donc : y₀ = -e^-x.cos(x)

Bonsoir Raymond!

Merci beaucoup pour cette réponse précise.

Donc en fait même si on a l'exponentiel d'une racine du polynôme caractéristique dans le second membre, les coefficients A et B ne sont pas des polynômes de degré 1 mais bien des constantes pas vrai?

En fait, j'avais fait l'analogie avec des second membres de la forme P(x)*exp(mx) où m est une racine du polynôme caractéristique.La solution était donc une solution de la forme Q(x)*exp(mx) avec degré de Q=degré de P +1

Tu confirmes donc que cette "astuce" ne s'applique pas lorsqu'on a des cosinus, de sinus et d'exponentielles dans le second membre.

De plus peux-tu me confirmer que si j'ai un second membre de la forme P(x)*cos(tx)*exp(mx) où m est une racine du polynôme. La solution sera de la fome Q(x)*(a sin tx + b cos tx)*exp(mx)avec degré de Q=degré de P +1?

Merci encore

La présence dans le second membre d'une exponentielle identique à l'une des deux exponentielles solutions de l'équation homogène entraine effectivement un degré supérieur si un polynôme multiplie cette exponentielle.

Cela s'appelle phénomène de résonnance.

Bonjour Facker,

si tu résous celle là :
y''+2y'+2y= (1 + sin x) * exp(-x)
tu auras tout compris.