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Equation différentielle

Posté par
najwabrnrd 19-12-11 à 12:15

Bonjour, l'énoncé d'un exo est le suivant
Soit \alpha \in \mathbb{R}*. On veut déterminer les fonctions f dérivables sur \mathbb{R} telles que f'(x)=-f(\alpha-x)
1)Soit f solution
a)Montrer que f est deux fois dérivable sur \mathbb{R}
b)Montrer que f est solution d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, et en déduire qu'il existe deux réels A et \phi  tel que pour tout x de \mathbb{R} f(x)=Asin(x+\phi)
c)Montrer qu'on peut choisir pour \phi le réel -\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4} quitte à modifier la valeur de A
2)Conclure.
Mon problème réside dans la 1)c)
En remplaçant \phi par la valeur indiquée, je n'arrive pas à retrouver la forme Asin(x-\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4})

Posté par
sabagare : Equation différentielle 19-12-11 à 12:47

on à
la fonction f dérivable sur
donc
x

\[f'\left( x \right)\] existé

doc \[f'\left( {\alpha  - x} \right)\] existe
ou^:
\[\begin{array}{c} \\ f''\left( x \right) = {\left( { - f\left( {\alpha  - x} \right)} \right)^\prime }\\ \\ = f'\left( {\alpha  - x} \right) \\ \end{array}\]

Posté par
DHilbertre : Equation différentielle 19-12-11 à 12:55

Par hypothèse, l'on sait que f est dérivable sur \R tout en sachant que, pour tout x\in\R, la fonction f' est telle que f'(x)=-f(\alpha-x), avec \alpha\in\R^*. Autrement dit, la fonction f' est bien dérivable sur \R et f''(x)=(f'(x))'=f'(\alpha-x).

A +

Posté par
DHilbertre : Equation différentielle 19-12-11 à 12:58

Pour tout x dans \R, l'on a

f''(x)=f'(\alpha-x)=-f(\alpha-(\alpha-x))=-f(x).

Autrement dit, f est nécessairement solution de l'équation y''+y=0

A +

Posté par
sabagare : Equation différentielle 19-12-11 à 13:13

\[\begin{array}{c} \\ f''\left( x \right) + f(x) = 0 \Rightarrow {r^2} + 1 = 0\\ \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \\ r =  - 1\\ \\ r = 1 \\ \end{array} \right.\\ \\ f(x) = {e^x};f(x) = {e^{ - x}} \\ \end{array}\]

Posté par
DHilbertre : Equation différentielle 19-12-11 à 13:15

@Sabaga : Allons ! Tu as r=-i ou r=i.

A +

Posté par
sabagare : Equation différentielle 19-12-11 à 13:15

désolé \[\begin{array}{c} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \\ r =  - i\\ \\ r = i \\ \end{array} \right.\\ \\ f(x) = {e^{ix}};f(x) = {e^{ - ix}} \\ \end{array}\]

Posté par
DHilbertre : Equation différentielle 19-12-11 à 13:20

@Sabaga : L'on t'a posé une question ici : je cherche à.... Ce serait bien d'y répondre.

A +

Posté par
carpediemre : Equation différentielle 19-12-11 à 13:21

salut

f est dérivable comme composée de deux fonctions dérivables .... tout simplement

Posté par
carpediemre : Equation différentielle 19-12-11 à 13:29

tu sais que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel et que les solutions sont de la forme f(x) = Acos(x) + Bxin(x) avec A et B réels

or f'(0) = f(a) et f'(a) = f(0) ce qui te permet de déterminer A et B


ensuite que vaut sin(p + q) ...

Posté par
sabagare : Equation différentielle 19-12-11 à 13:41

merci DHilbert à votre remarque

Posté par
najwabrnrdre : Equation différentielle 19-12-11 à 13:47

il faut résoudre l'équation sur R,
de plus, mon problème est dans la 3)c), ce serait gentil si vous me donner un indice pour cette question

Posté par
carpediemre : Equation différentielle 19-12-11 à 13:56

peux-tu nous dire ce que tu as trouvé pour f au final ... en b) ....


ensuite je t'ai donné l'indice ...

Posté par
sabagare : Equation différentielle 19-12-11 à 14:33

dans l'espace
on à la formule des solutions est
\[f\left( x \right) = \lambda \cos  + \mu \sin x;\left( {\lambda ;\mu } \right) \in {R^2};\left( {\lambda ;\mu } \right) \ne \left( {0;0} \right)\]

donc nous pouvons écrire l'expression suivante:
\[\begin{array}{l} \\ f\left( x \right) = \lambda \cos  + \mu \sin x\\ \\ \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt {{\lambda ^2} + {\mu ^2}} \left( {\frac{{\lambda \cos }}{{\sqrt {{\lambda ^2} + {\mu ^2}} }} + \frac{{\mu \sin x}}{{\sqrt {{\lambda ^2} + {\mu ^2}} }}} \right) \\ \end{array}\]
\[\begin{array}{l} \\ f\left( x \right) = \sqrt {{\lambda ^2} + {\mu ^2}} \left( {\sin \phi \cos  + \cos \phi \sin x} \right)\\ \\ \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt {{\lambda ^2} + {\mu ^2}} \sin \left( {\phi  + x} \right)\\ \\ \Rightarrow f\left( x \right) = A\sin \left( {\phi  + x} \right) \\ \end{array}\]

avec:\[\left\{ \begin{array}{l} \\ \sin \phi  = \frac{\lambda }{{\sqrt {{\lambda ^2} + {\mu ^2}} }}\\ \\ \cos \phi  = \frac{\mu }{{\sqrt {{\lambda ^2} + {\mu ^2}} }} \\ \end{array} \right.\]

Posté par
sabagare : Equation différentielle 19-12-11 à 14:35

on pose \[A = \sqrt {{\lambda ^2} + {\mu ^2}} \]

Posté par
carpediemre : Equation différentielle 19-12-11 à 14:36

à la bonne heure ....

Posté par
carpediemre : Equation différentielle 19-12-11 à 14:41

donc f(x) = Asin(x + t)

donc

f(a) = ....

f'(x) = ....

f'(a) = .... = - f(0)

f'(0) = .... = - f(a)



conclusion ::

t = -a/2 - /4

et alors

A = .....

Posté par
najwabrnrdre : Equation différentielle 19-12-11 à 15:03

je ne vous suis plus ici :

f'(a) = .... = - f(0)

f'(0) = .... = - f(a)

f'(\alpha)=Acos(\alpha + \phi), et f'(0)=Acos\phi

Posté par
carpediemre : Equation différentielle 19-12-11 à 16:21

la relation définie par ton équation différentielle et le calcul explicite de f'(x) en fonction de x (et a) et d'inconnue A et t te permettent d'avoir un système de 2 équations à 2 inconnues .... et vont te permettre d'arriver à t a/2 - pi/4 et alors A = ...

f'(a) = A cos(a + t) = -f(0) = -A sin(t)

donc cos(a + t) = -sin(t)


résoud cette équation en t .....


puis ensuite détermine A ....


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